§ 5. Три знаменитые задачи на построение

Теория алгебраических и трансцендентных чисел позволила математикам решить три знаменитые геометрические задачи, остававшиеся нерешенными со времен античности. Мы имеем в виду задачу об «удвоении куба», задачу о «трисекции угла» и задачу о «квадратуре круга». Эти задачи относятся к построениям с помощью циркуля и линейки и состоят в следующем:

1) «Удвоение куба». Требуется построить куб, имеющий вдвое больший объем по сравнению с данным кубом. Хотя куб и пространственная фигура, задача, по существу, является планиметрической. В самом деле, если в качестве единицы длины взять ребро данного куба (рис. 16), - то задача будет состоять в построении отрезка длины 1/2, поскольку именно такой будет длина ребра куба, имеющего вдвое больший объем по сравнению с данным.

2) «Трисекция угла». Найти способ, посредством которого, используя лишь циркуль и линейку, можно любой угол разделить на три равные части. Имеется некоторые углы, например 90° или 45°, которые можно с помощью циркуля и линейки разделить на три равные части, однако так называемый - «общий» угол с помощью этих инструментов разделить на три равные части нельзя.

3) «Квадратура круга». Построить квадрат, по площади равный данному кругу, или, что равносильно, построить круг, равный по площади данному квадрату.

Известно, что эти три построения неосуществимы, т. е. они не могут быть выполнены с помощью лишь циркуля и линейки. Многие любители продолжают решать эти задачи не зная, что их усилия пропадают впустую.

Рис. 16.

Хотя такие любители и отдают себе отчет в том, что ни один математик не смог еще осуществить этих построений, они, по-видимому, неосведомлены о строго доказанной невозможности таких построений. Время от времени математики-любители находят приблизительное решение какой-нибудь из этих задач, но никогда, конечно, не находят их точных решений. Ясно, в чем заключается здесь различие: задача об удвоении куба, например, состоит в построении с помощью теоретически совершенных чертежных инструментов отрезка, который имел бы длину не приблизительно а в точности равную этому числу. Задача не решается построением, к примеру, отрезка длиной несмотря на то, что числа совпадают с точностью до шести десятичных знаков.

В случае задачи о трисекции угла имеется особый источник непонимания.

Любой угол можно разделить на три равные части, если воспользоваться линейкой с делениями Таким образом, утверждение о невозможности разделения общего угла на три равные части может быть сделано лишь тогда, когда предполагается, что допустимыми инструментами при построении являются циркуль и линейка без делений.

Так как в отношении этих трех классических задач имеет место большая путаница, мы сейчас бегло объясним, как можно доказать невозможность всех трех построений. Мы не можем дать здесь полных доказательств, поскольку в деталях они довольно специальны. Если читатель желает подробно с ними познакомиться, то он может обратиться к книге Р. Куранта и Г. Роббинса [2], в которой имеется полный разбор задач о трисекции угла и об удвоении куба (стр. 197—205). Доказательство невозможности квадратуры круга значительно сложнее доказательств невозможности двух других построений.

Как можно доказать невозможность интересующих нас построений? Первым делом нужно в какой-то степени понять, отрезки какой длины могут быть построены с помощью циркуля и линейки, если задан отрезок единичной длины. Не приводя доказательств, мы утверждаем (и каждый знакомый с геометрическими построениями согласится с нами), что среди длин, которые можйо построить, находятся все длины, получаемые последовательными извлечениями квадратных корней, примененными к рациональным числам, например.

Все получаемые таким образом числа — алгебраические.

Четыре числа (10), выписанные в качестве примера, являются соответственно корнями следующих уравнений:

(11)

Возьмем одно из уравнений, скажем (13), и проверим, что число

действительно является его корнем. Возводя обе части последнего равенства в квадрат, получим

Перенося член 5 налево и опять возводя в квадрат, находим

Теперь еще одно возведение обеих частей в квадрат приводит к уравнению (13).

Далее, помимо того, что числа (10) являются соответственно корнями уравнений (11) — (14), ни одно из этих чисел не является корнем уравнения с целыми коэффициентами меньшей степени. Возьмем, например, число . Оно удовлетворяет уравнению (12) степени 4, но не удовлетворяет никакому уравнению степени 3, 2 или 1 с целыми коэффициентами. (Мы не доказываем этого утверждения.) Если алгебраическое число есть корень уравнения степени с целыми коэффициентами, но не является корнем никакого уравнения меньшей степени с целыми коэффициентами, то оно называется алгебраическим числом степени . Таким образом, числа (10) — алгебраические числа степеней 2, 4, 8 и 16 соответственно.

Вышеизложенное подсказывает следующий основной результат о длинах отрезков, которые могут быть построены при помощи циркуля и линейки:

Теорема о геометрических построениях. Длина любого отрезка, который может быть построен, исходя из данного отрезка единичной длины, при помощи циркуля и линейки, есть алгебраическое число степени либо 1, либо 2, либо 4, либо 8,..., т. е., вообще говоря, степени , где — целое неотрицательное число.

Мы предлагаем читателю принять этот результат на веру и, базируясь на нем, покажем, что все три знаменитые построения невозможны.

Начнем с задачи об удвоении куба. Как мы видели выше при ее формулировке, она равносильна следующей: исходя из отрезка единичной длины построить отрезок длины . Но удовлетворяет ли число необходимым для этого условиям? Оно удовлетворяет уравнению

и это наводит на мысль, что п. есть алгебраическое число степени 3. В действительности именно так дело и обстоит, и, чтобы убедиться в этом, нужно лишь показать, что число не удовлетворяет никакому уравнению с целыми коэффициентами степени 1 или 2. Доказательство этого хотя и несложно, требует некоторой хитрости, и мы отложим его до следующего параграфа.

Поскольку есть алгебраическое число степени 3, то в силу сформулированной выше теоремы о геометрических построениях невозможно построить отрезок длины , исходя из отрезка единичной длины. Таким образом, удвоить куб невозможно.

Рис. 17.

Рассмотрим теперь задачу о трисекции угла. Чтобы установить невозможность трисекции в общем случае, достаточно показать, что некоторый фиксированный угол не может быть разделен на три одинаковые части циркулем и линейкой. Возьмем угол, равный 60°. Трисекция угла в 60° означает построение угла в 20°. Это сводится к построению, исходя из данного отрезка единичной длины, отрезка, имеющего длину . Чтобы в этом убедиться, рассмотрим треугольник с основанием длины 1 и с углами при основании 60° и 90°, т. е. треугольник ABC с основанием и углами ВАС — 60° и (рис. 17). На стороне ВС возьмем точку D так, чтобы угол BAD был равен 20°. Из элементарной тригонометрии мы знаем, что

Таким образом, трисекция угла 60° сводится к построению отрезка длины . Но это в свою очередь сводится к построению отрезка длинны , поскольку суть обратные друг другу числа, а хорошо известно, что если можно построить отрезок некоторой данной длины, то можно построить и отрезок обратной длины.

Таким образом, интересующий нас вопрос сводится к следующему: можно ли, исходя из данного отрезка единичной длины, построить отрезок длины ? Нам известно, что есть корень кубического (т. е. степени 3) уравнения (6). Боле того, не удовлетворяет никакому уравнению степени 1 или 2 с целыми коэффициентами (доказательство этого мы опускаем, поскольку оно несколько громоздко). Следовательно, , как и , есть алгебраическое число степени 3, так что, согласно теореме о геометрических построениях, отрезок длины построить невозможно. Таким образом, трисекция угла в 60° посредством циркуля и линейки неосуществима.

Рассмотрим, наконец, задачу о квадратуре круга. Пусть имеется некоторый круг. Мы можем принять его радиус за единицу длины. Тогда площадь его будет равна я квадратных единиц. Квадрат той же площади имеет сторону длины . Стало быть, задача о квадратуре круга сводится к задаче о построении отрезка длины исходя из данного отрезка единичной длины. Далее, из теории геометрических построений хорошо известно, что если имеются отрезки длины 1 и а, то можно построить отрезок длины Следовательно, если бы можно было построить отрезок длины то можно было бы построить и отрезок длины .

В предыдущем параграфе было отмечено, однако, что я есть число трансцендентное, т. е. неалгебраическое. Поэтому, согласно теореме о геометрических построениях, отрезок длины я построить невозможно. Таким образом, «квадратура круга» неосуществима циркулем и линейкой.

Упражнения

(Упражнения 2 и 3 предназначаются для читателей, знакомых с геометрическими построениями.)

1. Доказать, что первое, второе и четвертое из чисел (10) являются соответственно корнями уравнений (11), (12) и (14).

2. Доказать, что если заданы отрезки длины , то с помощью циркуля и линейки можно построить отрезок длины .

3. Доказать, что если заданы отрезки длины , то с помощью циркуля и линейки можно построить отрезок длины