ГЛАВА I. Натуральные и целые числа

Исходную числовую систему в математике образуют обычные числа, используемые для счета:

Это — положительные целые числа, называемые также натуральными числами. Наименьшим натуральным числом является 1, но наибольшего натурального числа не существует, поскольку, какое бы большое число мы ни взяли, существуют еще большие натуральные числа. Мы говорим поэтому, что имеется бесконечно много натуральных чисел.

При сложении любых двух натуральных чисел в результате получается также натуральное число, например 4 + 4 = 8 или 4 + 7 = 11. Подобным же образом и при умножении любых двух натуральных чисел в результате получается натуральное число, так, например, 4х7=28. Эти два свойства можно кратко сформулировать, сказав, что совокупность натуральных чисел замкнута относительно сложения и замкнута относительно умножения. Вообще, если имеются совокупность объектов (скажем, множество всех натуральных чисел) и операция (скажем, сложение), такие, что к каким бы элементам этой совокупности ни применить рассматриваемую операцию (скажем, к 4 и 7), в результате получается элемент исходной совокупности, то мы говорим, что наша совокупность замкнута относительно рассматриваемой операции. Возьмем теперь множество, образованное только числами 1, 2, 3.

Это множество не замкнуто относительно сложения, поскольку 1+3 = 4, а 4 не является элементом рассматриваемого множества. Говоря о множестве натуральных чисел, мы будем иметь в виду множество всех натуральных чисел. Желая рассмотреть лишь некоторые из них, мы будем точно указывать, какие числа включаются в наше множество. Таким образом, мы видели, что множество натуральных чисел замкнуто относительно сложения, в то время как множество, состоящее лишь из трех натуральных чисел 1, 2, 3, относительно сложения не замкнуто.

Совокупность натуральных чисел не замкнута относительно вычитания. Чтобы убедиться в этом, нужно лишь показать, что не всякое вычитание одного натурального числа из другого приводит к натуральному числу. Например, если 7 вычесть из 4, то в результате мы получим —3, т. е. не натуральное число. Конечно, при вычитании 4 из 7 в результате получается натуральное число 3. Однако в соответствии с данным определением мы должны сказать, что множество чисел не замкнуто относительно вычитания, если результат хотя бы одного возможного вычитания не содержится в этом множестве. Аналогично множество натуральных чисел не замкнуто относительно деления, так как, например, при делении 4 на 7 получается дробь 4/7, не являющаяся натуральным числом.

Во многих случаях при делении одного натурального числа на другое в результате получается натуральное число; так, например, деленное на 5, есть 7. Мы говорим при этом, что 5 есть точный делитель 35-ти или, короче, что 5 есть делитель (или множитель) 35-ти. Обращая это утверждение, мы говорим, что 35 есть кратное 5-ти. Вообще, пусть обозначают какие-нибудь два натуральных числа. Если существует третье натуральное число q, такое, что то d называется делителем а b — кратным d. В приведенном выше примере конечно, равно 7.