ГЛАВА V. Значения тригонометрических и логарифмической функций

Читатель, несомненно, знаком с такими тригонометрическими функциями, как или , и знает, что каждая из этих функций ставит в соответствие всякому углу некоторое действительное число. Возможно, читателю приходилось также сталкиваться с логарифмической функцией которая ставит в соответствие некоторое действительное число каждому положительному действительному числу х.

За исключением некоторых специальных значений угла , тригонометрические функции принимают иррациональные значения. Подобным образом значения функции иррациональны для почти всех действительных положительных чисел х.

Мы не можем доказать здесь эти утверждения в их полной общности и ограничимся лишь рассмотрением нескольких простых примеров.

§ 1. Иррациональные значения тригонометрических функций

Используя методы предыдущей главы и некоторые основные тригонометрические тождества, мы покажем, что для многих углов соответствующие значения тригонометрических функций иррациональны.

Напомним сначала следующие основные тригонометрические формулы:

Заменяя А и В одним значением, например , получаем

Далее, заменяя в (1) А на 20 и В на , находим

Отсюда, используя (3) и (4), а также хорошо известную формулу , получаем

или, наконец,

Рассмотрим теперь число . Положив в (5), будем иметь

Обозначим . Поскольку, как известно, полученное равенство сводится к

или

Таким образом, число — корень уравнения (6). Применяя к этому уравнению теорему 3 гл. IV, видим, что единственно возможными его рациональными корнями являются числа Однако ни одно из этих восьми чисел в действительности корнем не является — в этом можно убедиться с помощью непосредственной подстановки.

Следовательно, уравнение (6) не имеет рациональных корней, так что число иррационально.

К этому же заключению можно было прийти и не проверяя, являются ли корнями уравнения (6) рациональные числа Достаточно показать, что отличается от всех этих восьми чисел. Это можно сделать, сравнивая их со значением , данным в таблицах тригонометрических функций. (В таблицах указывается, разумеется, лишь приближенное значение тригонометрических функций) Не прибегая к таблицам, можно заметить, что заключен между , поскольку в пределах от 0° до 30° косинус есть функция убывающая. Следовательно, лежит между а значит, и между 1 и 0,8. Тем самым показано, что не равен ни одному из единственно возможных рациональных корней уравнения (6) и поэтому иррационален.

Пример. Доказать, что число иррационально.

Первое решение. Один из способов решения — начать с тригонометрического тождества для

которое можно получить из (2) подобно тому, как (5) было получено из (1). Заменяя в (7) на 10° и используя равенство , получаем

Отсюда, обозначив , приходим к уравнению

или

Как и в случае уравнения (6), нетрудно показать (с помощью теоремы 3 гл. IV), что полученное уравнение не имеет рациональных корней.

Следовательно, число иррационально.

Второе решение. Из соотношения (3) и основного тождества

вытекают следующие два соотношения:

Заменяя во втором из соотношений (8) на 10°, получаем

Предположим теперь, что рационален. Тогда и тоже рационально. Однако, как показано выше, иррационален. Мы пришли к противоречию; следовательно, число иррационально.

Упражнения

При выполнении нижеследующих упражнений применяйте (в тех случаях, когда это полезно) полученные ранее результаты, как содержащиеся в основном тексте книги, так и составляющие содержание предшествующих упражнений.

1. Доказать, что следующие числа иррациональны:

2. Доказать, тождество (7).

3. а) Доказать тождество ; б) доказать, что число иррационально.

4. Какие из следующих чисел рациональны: