§ 3. Приближение рациональными числами

Один из способов приближения иррационального числа, скажем числа состоит в том, чтобы использовать его десятичное представление:

Числа образуют последовательность, члены которой все теснее и теснее приближаются к

Все эти приближения являются рациональными числами, так что мы имеем бесконечную последовательность рациональных приближений к

Числа последовательности (1) по мере продвижения по ней вправо становятся все ближе и ближе к . Более того, имеют место неравенства

Из этих неравенств видно, что бесконечно много членов последовательности (1) лежит так близко к как мы потребуем. Пусть, например, мы желаем убедиться, что имеется бесконечно много рациональных чисел, отличающихся от меньше, чем на 0,0001. Для этого достаточно заметить, что требуемому условию удовлетворяют все числа последовательности (1), начиная с пятого.

Однако все рациональные числа (1) обладают той особенностью, что их знаменатели суть степени 10. В общем случае, когда на знаменатели не накладывается никаких ограничений, могут найтись лучшие приближения рациональными числами.

То, что мы хотим сказать, хорошо видно на примере иррационального числа .

Так как имеет значение 3,14159..., то аналогичная (1) последовательность для имеет вид

Известно, однако, что число 22/7 лучше приближает чем 31/10. В действительности 22/7 ближе к , даже чем 314/100, хотя и не ближе, чем последующие члены последовательности (2).

Для того чтобы избавиться от зависимости от знаменателей 10, 102, 103 и т. д., покажем сначала, что каждое иррациональное число можно приблизить рациональным числом, имеющим любой заданный знаменатель.

Теорема 3. Пусть к — любое иррациональное число - и — любое положительное целое число. Тогда существует такое рациональное число с знаменателем , что

Доказательство этой теоремы мы сначала проиллюстрируем на примере. Предположим, что равно равно 23. Рассмотрим иррациональное число Пользуясь тем, что находим следующее приближенное значение числа

Следовательно, ближайшее целое к есть 33. k Это и есть m теоремы 2, которая для утверждает, что

Но 33 представляет собой также m теоремы 3, поскольку, поделив полученные неравенства на 23 (что возможно в силу теоремы 1), мы получаем

Доказательство. Заметим сначала, что число согласно теореме 1 гл. IV, иррационально. Определим теперь как ближайшее к целое число. По теореме 2

Поделив эти неравенства на положительное целое число (что возможно в силу теоремы 1), находим

Таким образом, теорема 3 доказана.

Пример. Найти рациональные числа , о которых говорится в теореме 3, для .

Решение. Простое вычисление показывает, что ближайшими к числам

целыми числами являются 1, 3, 4, 6, 7, 8, 10, 11, 13,14. Следовательно, искомые рациональные числа — это

Ошибка каждого из этих приближений меньше чем где — целое число, стоящее в знаменателе.

Из приведенного примера видно, что дробь в теореме 3 не обязательно несократима.

Упражнения

1. Найти рациональные числа , о которых говорится в теореме 3, для случаев, когда .

2. Найти рациональные числа , о которых говорится в теореме 3, для случаев, когда .

3. Доказать, что для любых заданных иррационального числа и положительного целого числа существует такое целое число , что

4. Доказать, что для любых фиксированных иррационального числа X и положительного целого числа имеется только одно целое число , удовлетворяющее неравенствам теоремы 3.

5. Доказать, что теорема 3 была бы неверной, если в ней дробь считалась бы несократимой, т. е. если в ее формулировке вместо «Тогда существует такое рациональное число с знаменателем стояло бы «Тогда существует такая несократимая рациональная дробь с знаменателем .