§ 2. Одно общее правило

Обобщая методы § 1, можно доказать, что, за исключением нескольких очевидных случаев, все значения тригонометрических функций от углов, представляющих собой целое число градусов, минут и кунд (т. е. углов типа ), иррациональны. Исключения составляют углы 0°, 30°, 45°, 60°, а также все углы, получаемые из этих четырех прибавлением или вычитанием любого целого кратного 90°.

При этом слово «исключение» означает, что значение по крайней мере одной тригонометрической функции от указанного угла, например от угла 30°, рационально, а вовсе не то, что все тригонометрические функции этого угла имеют рациональные значения.

Эти утверждения не будут здесь доказаны в полной общности поскольку уравнения, возникающие при рассмотрении таких углов, как слишком сложны, чтобы их рассматривать в настоящей книге. Тем не менее имеет место следующий простой принцип, значительно продвигающий нас вперед в вопросе, которым мы интересуемся:

Если угол таков, что число иррационально, то и числа также иррациональны.

Для доказательства этого утверждения воспользуемся соотношениями (8). Предполджим, что число рационально. Тогда числа также рациональны. Но это противоречит предположенной иррациональности , поскольку .

Аналогично предположим, что число рационально. Тогда число , и, следовательно, тоже рационально. Но это снова противоречит иррациональности , поскольку .

Предположим, наконец, что число рационально. Тогда и число рационально, а следовательно, рационально и число поскольку связаны следующим хорошо известным тождеством:

Таким образом, мы опять приходим к противоречию, так как в силу (8) рациональность влечет за собой и рациональность . Таким образом, иррационален.

Повторным применением только что доказанного принципа можно установить иррациональность бесконечно многих значений тригонометрических функций.

Например, из иррациональности числа текает иррациональность следующих чисел:

Упражнения

1. Доказать, что следующие числа иррациональны:

2. Доказать, что равно некоторому рациональному числу, умноженному на 90, т. е. что есть рациональное кратное числа 90°.

3. а) Пусть число рационально. Доказать, что число тоже рационально;

б) равносильно ли это доказательству того, что если число иррационально, то число тоже иррационально?

4. Пусть число иррационально. Доказать, что число тоже иррационально.