§ 2. Десятичные представления

Ясно, что число 1/3 сопоставляется одной из точек, которые делят на три равные части отрезок, соединяющий начало с единичной точкой, а именно с левой из двух таких точек (рис. 8).

Рис. 8.

Рассмотрим теперь десятичное представление числа 1/3:

Это соотношение выражает 7з в виде суммы с бесконечным числом членов. Несмотря на то что число членов бесконечно, сумма имеет, определенное значение, а именно . Точки на действительной прямой, отвечающие числам

образуют последовательность, сходящуюся к точке . Это видно на рис. 9. (Единица длины на нем взята достаточно большой.) Аналогично, любая бесконечная десятичная дробь отвечает некоторой точке на действительной прямой.

Рис. 9

Дроби 0,9999... отвечает предел последовательности точек, связанных с числами

Как показано на рис. 10, эти точки сходятся к единичной точке в соответствии с соотношением 1=0,99999..., выведенным в предыдущей главе.

Рис. 10.

Обращаясь, далее, к числу

рассмотренному выше в качестве примера, мы видим, что оно тоже отвечает определенной точке действительной прямой. Точку эту можно представить себе как предел следующей последовательности точек:

Так как дробь q не периодична, то она представляет собой иррациональное число, и отвечающая ему точка иррациональна.

Вышеизложенное подсказывает иной способ, позволяющий представить себе совокупность действительных чисел.

Действительные числа образуются совокупностью всех десятичных дробей, конечных или бесконечных, как, например

В соответствии с предыдущей главой совокупность этих десятичных дробей можно разделить на два класса: класс рациональных чисел и класс иррациональных чисел. Рациональные числа — это те десятичные дроби, которые либо конечны, либо периодичны; иррациональные числа — это бесконечные (непериодические) десятичные дроби, как, например, дробь 9, Т) которой говорилось выше. Кроме того, поскольку каждая конечная десятичная дробь (или каждая дробь вида 0,43000... с бесконечной последовательностью нулей) может так же быть записана, как истинно бесконечная периодическая десятичная дробь, то мы можем принять соглашение (действующее до конца этого параграфа) записывать все рациональные числа в виде бесконечных периодических десятичных дробей. (В соответствии со сделанным соглашением 0,43, например, будет записываться как 0,42999...; это может показаться нелепым, однако упрощает проводимое ниже рассуждение.)

Покажем теперь, что представление действительного числа в виде бесконечной десятичной дроби единственно. Иными словами, две бесконечные десятичные дроби равны только тогда, когда их цифры, стоящие на одинаковых местах, равны, т. е. когда записи этих дробей одинаковы.

Почему бесконечное десятичное представление числа единственно? Для ответа на этот вопрос рассмотрим два числа с различными бесконечными десятичными представлениями. Поскольку представления различны, то имеется по крайней мере одна цифра, в которой они отличаются. Например,

Бесконечная последовательность чисел, следующая за 6 в числе а, может быть любой, какую только захочет себе представить читатель, исключая бесконечную последовательность нулей.

То же самое относится к числу b. Далее, поскольку бесконечная последовательность нулей исключается, то а строго больше, чем 17,923416; символически это записывается в виде

С другой стороны, b может быть равным самое большее 17,923416, так как равенство имеет место лишь тогда, когда все цифры в b, следующие за «5», суть девятки, т. е. когда Утверждение «6 самое большее равно 17,923416» символически записывается

Объединяя вместе полученные неравенства для а и b, получаем

откуда следует, что . Таким образом, а больше чем b, и это исключает, конечно, возможность их равенства. Мы провели рассуждение в частном случае двух конкретных чисел а и b, но оно без труда обобщается на любую пару чисел, имеющих разные бесконечные десятичные представления.