§ 4. Лучшие приближения

Теорема 3: утверждает, что любое иррациональное число X можно приблизить рациональным числом с точностью до , т. е. с ошибкой меньшей, чем Можно ли найти аналогичное приближение с точностью до или с точностью до или, возможно, еще лучшее? Ответ на этот вопрос положителен. В следующей теореме будет показано, что X можно приблизить посредством рационального числа с точностью до каково бы ни былой и т. д. Однако в то время как в теореме 3 приближение с точностью до можно было получить для любого целого положительного , приближение с точностью до с заданным k в теореме 4 возможно не для всех я.

Можно ли приблизить иррациональное число X рациональным числом с точностью до или с точностью до или, возможно, еще лучше? С точностью до можно, с точностью до — нельзя. Но этим вопросам посвящены дальнейшие параграфы. А сейчас мы займемся приближениями числа X посредством дроби с точностью до

Теорема 4. Каковы бы ни были иррациональное число X и положительное целое число k, существует рациональное число с знаменателем , не превосходящим k, такое, что

Прежде чем доказывать эту теорему в общем случае, проиллюстрируем ее на одном частном примере, а именно когда

Вычислим сначала все кратные от до включительно. Мы выпишем эти кратные представляя каждое из них в виде суммы двух положительных чисел — целого числа и числа, меньшего, чем

В приведенной таблице равенства, стоящие в правом столбце, получены из соответствующих равенств в левом столбце вычитанием целой части.

Рис. 21.

Далее разделим единичный интервал на восемь частей: как показано на рис. 21. При этом интервал состоит из чисел, лежащих между 0 и — из чисел между 1/8 и — из чисел между 2/8 и 3/8 и т. д.

Распределим теперь дробные доли восьми рассматриваемых кратных по интервалам . При этом

Воспользуемся тем числом из этой таблицы, которое принадлежит

Поскольку числа, принадлежащие заключены между 0 и 1/8, то

Далее, так как число заключено между 0 и 1/8, то оно, конечно, заключено также между и 1/8, т. е.

Деля эти неравенства на 7, находим

Тем самым мы получили результат того вида, о котором идет речь в теореме 4, с

Проведенные рассуждения основывались на том, что число принадлежит что же делать, если в интервал h не попадает ни одно число? Заметим, что в этом случае один из интервалов должен содержать два или больше чисел. В нашем примере не только существует число в интервале А, но также в двух интервалах — в — имеется по два числа. Рассмотрим парухчисел из интервала

и

Ясно, что если два числа принадлежат (или любому другому из этих интервалов), то они отличаются друг от друга меньше чем на 1/8, и поэтому их разность лежит между —1/8 и . В частности, для двух рассматриваемых чисел из интервала имеем

Поделив эти неравенства на 4, находим

Полученные неравенства тоже представляют собой результат того вида, о котором идет речь в теореме 4, где теперь

Доказательство теоремы 4. Только что разобранный пример может служить моделью для доказательства теоремы 4 в общем случае. Пусть заданы иррациональное число и положительное целое число k. Образуем k чисел и запишем каждое из них в виде суммы целой части и дробной доли:

Буквы обозначают целые числа, а буквы — числа, заключающиеся между 0 и 1. Далее разобьем единичный интервал на k частей, длины каждая (рис. 22). При этом интервал h состоит из чисел, заключенных между О и — из чисел, заключенных между чисел, заключенных между и т. д.

Рис. 22.

Слово «между» понимается здесь в строгом смысле, так что, например, числа сами не принадлежат интервалу Заметим, что, согласно теореме 1 гл. IV, каждое из чисел иррационально. Следовательно, ни одно из чисел не может быть равным ни одному из рациональных чисел

и поэтому каждое принадлежит в точности одному из интервалов

Имеются следующие две возможности: либо интервал содержит одно или более из чисел, , либо он не содержит ни одного из этих чисел. Каждую из возможностей мы рассмотрим в отдельности.

Случай 1. Интервал h содержит одно или более из чисел . Пусть принадлежит Символ обозначает одно из чисел Число равно так что

поскольку есть интервал, ограниченный числами О и Отсюда имеем

после деления на получаем

Таким образом, в этом случае теорема 4 доказана, так как в качестве можно взять число

Случай 2. Интервал не содержит ни одного из чисел . В этом случае k чисел распределены по интервалам:

Применим теперь так называемый принцип ящиков Дирихле. Согласно этому принципу, если в ящиках сидят k кроликов, то по крайней мере в одном ящике находится два или более кроликов. Таким образом, по крайней мере один интервал содержит два или более чисел . Пусть в одном и том же интервале находятся числа где — два различных числа из совокупности 1, 2, 3, k. Предположив; что j больше , получим, что есть положительное число, меньшее

Так как числа лежат внутри одного и того же интервала длинк то их разность заключена между —

Ho , и поэтому

или

Обозначим через n и через m. Тогда

Поскольку число , в силу его определения, положительно, то, согласно теореме 1 г), предыдущие неравенства можно поделить на и получить

Так как, кроме того, число меньше k, то теорема 4 полностью доказана. Отметим, что рациональная дробь не обязательно несократима. Если числа не имеют общих множителей, то она несократима, в противном случае — сократима.

Упражнения

1. Сразу после формулировки теоремы 4 разбярается ее частный случай, когда и Какие значения тип получились бы, если бы мы выбрали пару чисел из вместо рассмотренной пары чисел, принадлежащей интервалу

2. Применить метод, использованный для доказательства теоремы 4, к каждому из следующих случаев и получить в результате числа тип, удовлетворяющие неравенствам этой теоремы: