ГЛАВА III. Действительные числа

§ 1. Геометрическая точка зрения

Когда в геометрии вводятся координаты, некоторая прямая линия принимается за ось и каждой точке этой оси сопоставляется некоторое число.

Рис. 5.

Делается это посредством выбора двух произвольных (но различных) точек на оси, которым сопоставляются 0 и 1, причем расстояние между этими двумя точками играет роль единицы длины, или единичной длины. Обычно (рис. 5) точка, отвечающая 1, выбирается справа от нулевой точки, так что слева от нулевой точки находятся точки, сопоставляемые отрицательным числам. Нулевая точка называется началом. Точка, отвечающая, например, числу 7, лежит справа от начала на расстоянии, в семь раз большем единицы длины, а точка, отвечающая числу —7, лежит слева от начала на том же расстоянии. Таким способом каждая точка связывается с некоторым числом: отвечающее точке число есть расстояние от нее до начала, взятое со знаком плюс, если точка лежит справа от начала, и со знаком минус в противном случае. Как показано на рис. 6, местоположение таких рациональных чисел, как —4/3, 1/2 и 2,3, легко определяется по их отношению к точкам 0 и 1.

Символ обозначает число, которое, будучи помноженным само на себя, дает 2, т. е. . Чтобы пояснить геометрический смысл числа рассмотрим единичный квадрат (рис. 7).

Рис.

Из теоремы Пифагора следует, что квадрат длины диагонали этого квадрата равен 2. Длина диагонали обозначается поэтому через , и число сопоставляется той точке оси, расстояние которой от начала равно длине диагонали нашего единичного квадрата.

Так как каждая точка оси лежит на некотором расстояния от начала, то интуитивно ясно, что для каждой точки имеется отвечающее ей число.

Рис. 7. Квадрат со сторонами длины

Под действительными числами мы понимаем совокупность всех чисел, связываемых с точками оси. Каждое рациональное число принадлежит этой совокупности, поскольку каждому рациональному числу отвечает точка, расстояние которой от начала равно единиц длины. Можно, таким образом, сказать, что рациональные числа образуют подмножество множества всех действительных чисел.

Имеются, однако, действительные числа, не являющиеся рациональными. В этой главе будет показано, что число не рационально.

Всякое действительное число, которое, подобно нерационально, называется иррациональным числом. Согласно этому определению, каждое действительное число либо рационально, либо иррационально. Прямая линия, или с каждой точкой которой описанным выше способом связано некоторое число, называется действительной прямой. Точки этой прямой называются рациональными или иррациональными, смотря по тому, рационально или иррационально соответствующее им число.

Отметим, что данное выше определение иррационального числа сводится к следующему: действительное число называется иррациональным, если его нельзя представить в виде отношения двух целых чисел.