§ 5. Приближения с точностью до 1/n2

В начале § 4 было указано общее направление наших исследований. Мы хотим найти по возможности лучшие приближения произвольного иррационального числа X. От приближения X посредством дроби с точностью до для любого (теорема 3) мы перешли к приближению с точностью до для некоторого (теорема 4). Теперь будет получено приближение с точностью до

Теорема 5. Для любого иррационального числа X существует бесконечно много несократимых рациональных дробей таких, что

Доказательство. Отметим сначала, что любое рациональное число удовлетворяющее неравенствам теоремы 4, автоматически удовлетворяет также неравенствам теоремы 5. В самом деле, так как не превосходит k, т. е. то, согласно пунктам г), д) и ж) теоремы Следовательно, любое число, заключенное между заключено также между

Покажем далее, что если какая-нибудь сократимая дробь удовлетворяет неравенствам теоремы 5, то несократимая дробь, представляющая то же самое рациональное число, также должна удовлетворять соответствующим неравенствам. Пусть есть представление числа в виде несократимой дроби. Не будет ограничением предположить, что оба числа и N положительны, так как знак «минус» всегда может быть отнесен к числителю. Таким образом,

поскольку сведение сократимой дроби к несократимой, не меняя значения самой дроби, меняет величину ее знаменателя. Из теоремы 1 вытекает, что

поэтому, если число удовлетворяет неравенствам

оно автоматически удовлетворяет также неравенствам

Чтобы закончить доказательство теоремы 5, осталось лишь показать, что имеется бесконечно много несократимых рациональных дробей удовлетворяющих требуемым неравенствам. Предположим, что, напротив, имеется только конечное число таких дробей, скажем

и рассмотрим следующие i чисел:

Как следует из теоремы 1 гл. IV, все эти числа иррациональны, и поэтому ни одно из них не равно нулю. Некоторые среди них могут быть положительными, другие — отрицательными. Возьмем целое число k настолько большим, чтобы лежало между 0 и всеми положительными, а — между 0 и всеми отрицательными этими числами. Так выбрать число k всегда можно, поскольку чем больше будет k, тем ближе к нулю лежат Число k выбрано, таким образом, настолько большим, что ни одно из следующих неравенств не является верным 1):

Применяя теорему 4 для этого значения k, получаем, что существует рациональное число , для которого

Число будучи заключенным между заключено также между , т. е.

Отсюда следует, что число отлично от всех чисел поскольку неравенства (3) неверны. Мы получили, таким образам, еще одну рациональную дробь, удовлетворяющую неравенствам теоремы 5.

Пример. Найти четыре рациональных приближения к иррациональному числу , представляемые несократимыми рациональными дробями и удовлетворяющие неравенствам теоремы 5.

Решение. Заметим сначала, что так как то

Для нахождения двух других приближений можно воспользоваться методом теоремы 3 и найти ближайшие к я рациональные дроби с знаменателями 2, 3 и т. д.:

Дроби 6/2 и 9/3 мы отбрасываем, поскольку они сократимы и после сокращения ничего нового не дают, а остальные проверяем — удовлетворяют они или нет неравенствам теоремы 5. Например,

В результате дроби 13/4 и 16/5 отвергаются, а дроби 19/6 и 22/7 принимаются. Таким образом, 3/1, 4/1, 19/6 и 22/7 — одно из решений рассматриваемой задачи.

Рациональное число 22/7 является очень хорошим приближением к . Это число — самое близкое к среди всех рациональных чисел, знаменатели которых заключены между 1 и 56. Рациональное число 179/57 несколько ближе к , чем 22/7, однако оно не удовлетворяет неравенствам теоремы 5. Рациональное число 355/113 удовлетворяет неравенствам теоремы 5 и лежит к значительно ближе, чем 22/7 (оно совпадает точностью до шести знаков после запятой!).

Можно установить справедливость следующего усиления теоремы 5: для любого иррационального числа существует бесконечно много несократимых рациональных дробей таких, что

Если бы вместо теоремы 5 использовалась эта теорема, то в предыдущем примере дробь 4/1 (представляющую собой сравнительно плохое приближение к я) пришлось бы считать неподходящей.

Чтобы доказать указанное усиление теоремы 5, нужен более сильный вариант теоремы 4. Мы наметим лишь основные вехи доказательства, оставляя читателю проведение всех деталей.

В доказательстве теоремы 4 с помощью принципа ящиков Дирихле устанавливалось, что если k чисел распределяются по k интервалам, то либо одно из чисел попадает в первый интервал, либо имеется интервал, содержащий по меньшей мере два из этих чисел. Для получения усиленного варианта теоремы 4 разделим единичный интервал на меньших интервалов и будем рассуждать следующим образом: если k чисел распределяются по интервалам, то либо одно из чисел оказывается в первом интервале, либо одно из чисел оказывается в последнем интервале, либо имеется интервал, содержащий по меньшей мере два из этих чисел. Такое использование принципа ящиков приводит к неравенству

которое сильнее неравенства из теоремы 4 (остальная часть формулировки этой теоремы остается без изменений).

Теперь доказательство усиленной теоремы 5 получается без труда.

Упражнения

1. Доказать, что для любого иррационального числа среди бесконечного множества рациональных чисел удовлетворяющих условиям теоремы 5, имеется два таких, для которых , т. е. которые являются целыми числами.

2. Пусть — любое заданное иррациональное число. Доказать, что все, кроме одного, рациональные числа, удовлетворяющие неравенствам теоремы 5, автоматически удовлетворяют также неравенствам теоремы 3.

3. Найти два не целых рациональных числа, удовлетворяющих неравенствам теоремы 5, для

4. а) Какие из первых пяти чисел последовательности (1) удовлетворяют неравенствам теоремы 3 для Какие из них удовлетворяют неравенствам теоремы 5?

5. а) Какие из первых пяти чисел последовательности 1) удовлетворяют неравенствам теоремы 3 для Какие из них удовлетворяют неравенствам теоремы 5?

6. Доказать, что в случае утверждение теоремы 5 неверно.

7. а) Пусть — несократимые рациональные дроби с положительными знаменателями. Доказать, что если то эти дроби неравны. Вывести отсюда, что при неравенства

неверны.

б) Доказать, что если — любое фиксированное рациональное число, то утверждение теоремы 5 неверно.

8. Провести полностью доказательство усиленного варианта теоремы 5 (следуя наброску, данному в конце § 5). Показать, что разности не удовлетворяют усиленным неравенствам, а разность удовлетворяет.