ГЛАВА VII. СРАВНЕНИЯ В КОЛЬЦЕ ПОЛИНОМОВ И РАСШИРЕНИЯ ПОЛЕЙ

§ 1. Сравнения в кольце полиномов над полем

1. Кольцо вычетов по полиному.

Рассматривается кольцо полиномов над полем К. Пусть f — данный полином. Два полинома называются сравнимыми по модулю f, если их разность делится на f. Сравнение обозначается так: Справедливы следующие предложения:

Предложение 1. Если

Предложение 2. Если

Доказательство ничем не отличается от доказательств аналогичных предложений теории сравнений в кольце целых чисел (предложения 3 и 4 § 2 гл. I).

Попарно сравнимые полиномы объединяются в классы. Для классов естественным образом определяются действия сложения и умножения: именно, суммой и произведением классов называется класс, содержащий сумму и произведения каких-либо полиномов из этих классов. Корректность этих определений обеспечивается предложениями 1 и 2. По отношению к этим действиям классы образуют кольцо, коммутативное и ассоциативное. Нулем в этом кольце является класс полиномов, сравнимых с нулем, т. е. делящихся на f. Единицей является класс, содержащий «полином» 1, т. е. множество полиномов, которые становятся делящимися на f после вычитания 1.

Все полиномы одного класса по модулю имеют один и тот же н. о. д. с f. Действительно, если , то всякий общий делитель делит и всякий общий делитель делит . Класс называется примитивным, если входящие в него полиномы взаимно просты с модулем. Класс называется обратимым, если для него существует обратный, т. е. такой, произведение которого данным равно единичному.

Предложение 3. Обратимыми являются примитивные классы и только они.

Доказательство. Пусть g принадлежит примитивному классу, так что . Тогда найдутся полиномы М, N из кольца такие, что . Ясно, что . Так что М принадлежит классу, обратному к классу, содержащему

Пусть теперь класс, содержащий g, обратим. Это значит, что для полинома g найдется такой полином М, что Обозначив через N частное от деления на получим , а это и означает, что g и взаимно просты.

Из доказанного предложения немедленно следует Предложение 4. Кольцо вычетов по модулю неприводимого полинома есть поле.

Действительно, в этом случае все классы, кроме нулевого, обратимы.

Если же полином f приводим, то кольцо вычетов по модулю не только не поле, но даже не область целостности. Действительно, пусть где отличны от констант. Тогда содержащие и классы отличны от нулевого, но их произведение есть нулевой класс.

2. Значения рациональных дробей.

Пусть - поле рациональных дробей от буквы над полем какое-либо расширение поля К. Пусть . Если для дроби — элемент а является корнем для знаменателя и не является корнем числителя, говорят, что имеет полюс в точке а. Если то имеет смысл значение дроби. Если числитель и знаменатель умножить на один и тот же полином, не обращающийся в нуль при а, то значение дроби, очевидно, не меняется. Следовательно, оно не меняется и при сокращении. Если дробь несократима, т. е. если ее числитель и знаменатель взаимно просты, то они не могут обращаться в нуль одновременно, так что если а не является полюсом дроби, то имеется ее значение в а, которое принимается за значение дроби независимо от ее записи. Так, дробь имеет значение при хотя знаменатель и обращается в 0 в этой точке, именно, это значение равно , ибо