7. Применения формулы Муавра к преобразованиям тригонометрических выражений.

Формула Муавра оказывается удобным средством для преобразования некоторых выражений, содержащих тригонометрические функции. Рассмотрим несколько примеров. Пример 1. Выразить через

Имеем соотношение Применив бином Ньютона, получим

(пользуемся тем, что ). Приравнивая компоненты, получим

откуда

(Мы поделили числитель и знаменатель на .)

Ясно, что подобным образом можно выражать тригонометрические функции кратного аргумента через тригонометрические функции исходного.

Пример 2. Выразить линейно через тригонометрические функции кратных аргументов.

Положим тогда откуда

Воспользуемся этими формулами:

Аналогично, любое выражение вида можно представить линейно через тригонометрические функции кратных аргументов.

Пример 3. Преобразовать сумму

Введем в рассмотрение другую сумму и запишем Мы пришли к сумме геометрической прогрессии. Для дальнейших преобразований полезно ввести обозначение Тогда

Вынесем теперь в числителе и знаменателе такие степени а, чтобы в скобках оставались разности степеней с противоположными показателями (для возможности этого мы ввели сокращенное обозначение для , а не для что, казалось бы, естественнее):

откуда

В качестве «бесплатного приложения» мы получили сумму

Аналогичным образом могут быть преобразованы суммы вида если аргументы тригонометрических функций образуют арифметическую прогрессию, а коэффициенты — геометрическую. Разумеется, рассмотренные примеры не исчерпывают возможности применений формулы Муавра к преобразованиям тригонометрических выражений.