Главная > Математика > Лекции по алгебре
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2. Собственные значения вещественной симметричной матрицы.

Теорема 2. Все собственные значения вещественной симметричной матрицы вещественны.

Доказательство. Пусть А — вещественная симметричная матрица — некоторый ее собственный вектор с комплексными компонентами, так что при некотором к. Подсчитаем двумя способами число (черточка наверху обозначает, как обычно, комплексное сопряжение). Это действительно число, ибо оно есть произведение строки на столбец АХ. Имеем: . Но так как число а, рассматриваемое как матрица первого порядка, при транспонировании не изменяется. Поэтому . Итак, , т. е. а — число вещественное. С другой стороны, Ввиду того, что есть число вещественное.

Теорема доказана.

Хочется отметить нетривиальность содержания доказанной теоремы. Мы еще не располагаем критериями вещественности корней полинома с вещественными коэффициентами при . В дальнейшем мы увидим, что такие критерии не просты. Тем не менее мы получили сейчас широкий класс полиномов, все корни которых вещественны — это характеристические полиномы вещественных симметричных матриц. Даже при применение общеизвестного критерия неотрицательности дискриминанта требует некоторых преобразований. Действительно, пусть тогда и дискриминант D равен

Из вещественности собственных значений вещественной симметричной матрицы следует, что компоненты собственных векторов можно брать вещественными. Действительно, они определяются из линейной однородной системы уравнений с вещественными коэффициентами. Ясно, что если X есть собственный вектор матрицы А, то при любом будет собственным вектором, принадлежащим тому же собственному значению. Действительно, если то . Поэтому собственные векторы для вещественной симметричной матрицы всегда можно выбирать нормированными. Действительно, если X — какой-либо собственный вектор и , то столбец — X останется собственным вектором и будет нормирован.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление