3. Некоторые классы алгебр.

Как уже было сказано выше, алгебры с ассоциативным умножением называются ассоциативными алгебрами. Ассоциативность будет иметь место, если выполнены равенств: где какой-либо базис алгебры. Запишем это условие в терминах структурных констант. Имеем: Далее,

Таким образом, условие ассоциативности имеет вид .

Положив , получим, что есть тензор структурных констант для тройных произведений ассоциативной алгебры.

В терминах операторов умножения условие ассоциативности формулируется проще и естественнее. Именно, ассоциативность эквивалентна каждому из трех следующих свойств операторов умножения (записанных как левые операторы, т. е. первым действующим считается тот, который записан справа):

Алгебра называется коммутативной, если при любых х и у из алгебры. Алгебра называется антикоммутативной, если квадрат любого ее элемента равен нулю. В этом случае для любых х и у из алгебры выполнено соотношение , ибо

Алгебра называется алгеброй Ли, если она антикоммутативна и для любых трех ее элементов выполнено соотношение Якоби:

Среди алгебр, встречающихся в приложениях, алгебры Ли играют особую роль. В частности, они тесно связаны с группами Ли.

Любая ассоциативная алгебра может быть «превращена» в алгебру Ли посредством введения нового «умножения» о по правилу . Ясно, что при любом Соотношение же Якоби легко проверяется:

Алгебра (не обязательно ассоциативная) называется алгеброй с делением, если уравнение разрешимо относительно при данных у и z. Другими словами, алгебры с делением характеризуются тем, что все операторы правого умножения, кроме нулевого, невырожденны. В алгебрах с делением уравнение при разрешимо относительно однозначно, ибо невырожденный оператор имеет нулевое ядро. В частности, из равенства следует, что при и что возможно только при Но это значит, что любой оператор левого умножения, кроме умножения на 0, имеет нулевое ядро и, следовательно, невырожден. Поэтому и каждое уравнение при разрешимо относительно у.

Легко видеть, что над полем С не существует алгебр с делением, кроме самого С. Действительно, если размерность алгебры с делением больше 1, то в ней существует два линейно независимых элемента х и у. Рассмотрим соответствующие им операторы правого умножения и их матрицы в некотором базисе. В силу невырожденности операторов правого умножения Рассмотрим элемент при Оператор правого умножения на него есть Его определитель есть полином степени от t, следовательно, обращается в 0 при некотором значении t. Это невозможно в алгебре с делением, ибо , и, следовательно, оператор должен быть невырожден. Что касается алгебр размерности 1, то, как легко видеть, их существует только две, с точностью до изоморфизма, — алгебра с нулевым умножением (т. е. алгебра, в которой произведение любых двух элементов равно 0) и С. Над полем вещественных чисел алгебры с делением существуют — в частности, поле С. С важной алгеброй размерности 4 мы познакомимся в следующем параграфе.