§ 2. Подпространства

1. Определение и размерность.

Подпространством Р n-мерного пространства S называется множество векторов, образующих векторное пространство по отношению к действиям, которые определены в S. Иными словами, подпространство есть множество векторов, содержащее вместе с любым конечным множеством векторов все их линейные комбинации. Подпространство -мерного пространства конечномерно и его размерность не превосходит . Действительно, любая линейно независимая совокупность векторов из Р будет линейно независимой и по отношению к S, так что максимальное число линейно независимых векторов из Р не превосходит и, т. е.

Если то Действительно, в этой ситуации базис Р есть линейно независимая совокупность векторов, содержащая элементов, т. е. она максимальна, базис Р есть вместе с тем базис S, и следовательно, подпространство Р совпадает с

В любом пространстве S существуют два тривиальных подпространства — само S и подпространство, состоящее только из нулевого вектора. При имеются и нетривиальные подпространства. Строить их можно так. Взять любую конечную совокупность векторов и ввести в рассмотрение множество всех их линейных комбинаций . Это множество, очевидно, есть подпространство. Его размерность равна , если линейно независимы, и меньше , если они линейно зависимы. Поэтому в -мерном пространстве существуют нетривиальные подпространства всех возможных размерностей, от 1 до

В силу предложения 7 предыдущего параграфа базис любого подпространства может быть дополнен до базиса всего пространства.

2. Сумма и пересечение подпространств.

Пусть Р и Q — два подпространства пространства S. Их суммой называется множество векторов х + у при . Ясно, что любая линейная комбинация векторов из Р Q принадлежит так что есть подпространство пространства S (быть может, совпадающее со всем S). Далее, пересечение подпространств Р и Q, т. е. множество векторов, принадлежащих одновременно Р и Q, есть, очевидно, подпространство (быть может, состоящее только из нулевого вектора).

Ясно, что подпространства Р и Q содержатся в и содержится в любом подпространстве, содержащем Р и Q. Иными словами, есть наименьшее подпространство, содержащее Р и Q. Пересечение содержится в Р и Q, и любое подпространство, содержащееся в Р и Q, содержится и в Это значит, что есть наибольшее среди подпространств, содержащихся в Р и

Теорема . Доказательство. Обозначим Размерности подпространств будем обозначать соответствующими малыми буквами.

Выберем прежде всего базис Т. Пусть это . Имеем Поэтому базис Т можно дополнить до базиса Р и до базиса Q. Пусть базис Р и пусть — базис

Покажем, что векторы составляют базис . Любой вектор равен при . Следовательно, , так что векторы порождают R. Докажем их линейную независимость. Пусть

откуда

Вектор и принадлежит Р, ибо он есть линейная комбинация векторов базиса Р, но вместе с тем ибо он есть линейная комбинация части базисных векторов Q. Следовательно, и является линейной комбинацией векторов базиса этого подпространства: . Приравнивая это представление и к его представлению через базис Q, получим:

или, что то же самое,

Но векторы линейно независимы, ибо они составляют базис Q. Следовательно,

В силу линейной независимости базиса подпространства Р получаем

Итак, все коэффициенты линейной комбинации векторов оказались равными нулю. Следовательно, эти векторы линейно независимы. Так как они порождают , они составляют базис . Их число, т. е. равно

Тем самым теорема доказана.

Доказанная теорема служит основой интуиции в вопросе о расположении подпространств в многомерных пространствах. Так, в четырехмерном пространстве S два двумерных подпространства Р и Q (т. е. две плоскости, проходящие через начало координат) могут иметь три возможности взаимного расположения. Возможно что их сумма дает все S. Тогда , т. е. плоскости пересекаются в одной точке. Возможно, что , т. е. обе плоскости лежат в трехмерном пространстве и не совпадают. В этом случае , т. е. плоскости пересекаются по прямой. Наконец, если , то совпадает с Р, с Q и с их пересечением, т. е. это тот случай, когда плоскости Р и Q совпадают.