4. Ортогональное преобразование квадратичной формы к каноническому виду.

Теорема 3. Вещественная квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду посредством преобразования переменных с ортогональной матрицей.

Доказательство. Применим метод математической индукции по числу переменных. При нечего доказывать, так что база индукции тривиальна. Допустим, что теорема уже доказана для форм от переменных.

Пусть , где — вещественная симметричная матрица. Пусть нормированный собственный вектор матрицы А, соответствующий собственному значению Примем за первый столбец ортогональной матрицы:

Покажем, что преобразование с этой матрицей «улучшает» матрицу квадратичной формы. Матрица преобразованной формы есть . Имеем

ибо в первом столбце находится столбец . Далее,

ибо столбцы матрицы Р ортогональны и нормированны. Матрица симметрична, поэтому имеет вид - симметричная матрица. Рассмотрим квадратичную форму с матрицей В. В силу индуктивного предположения найдется ортогональная матрица Q такая, что

Положим . Ясно, что матрица ортогональна, ибо ее первый столбец нормирован и ортогонален остальным столбцам, а остальные столбцы попарно ортогональны и нормированны в силу ортогональности матрицы Q. Ясно, что

Теорема доказана, ибо есть ортогональная матрица как произведение двух ортогональных.