2. Конструирование простых расширений.

Результаты п. 1 показывают, что с точностью до изоморфизма можно конструировать простые расширения поля К, не обращаясь к рассмотрению поля из которого берутся присоединяемые элементы. Так, простое трансцендентное расширение есть поле рациональных дробей от некоторой буквы. Простое трансцендентное расширение поля есть поле рациональных дробей от буквы у с коэффициентами из Каждую такую дробь посредством умножения на произведения всех знаменателей коэффициентов при у можно привести к виду - частного двух полиномов от х и у, так что двукратное трансцендентное расширение приводит к полю частных кольца полиномов от двух букв, и т. д.

Алгебраические же расширения можно конструировать как поля вычетов кольца полиномов по неприводимым полиномам.

Рассмотрим еще один пример. Мы выяснили раньше, что над полем из двух элементов имеется один неприводимый полиной второй степени.

Поле вычетов по нему состоит из четырех элементов где через обозначен класс, содержащий Сложение в этом поле совершается естественным образом, только характеристика поля равна 2, так что сложение каждого элемента с собой дает 0. Умножение же характеризуется тем, что

Как уже говорилось выше, над полем вычетов по простому модулю существуют неприводимые полиномы любой степени. Поле вычетов по модулю неприводимого полинома степени имеет элементов, ибо каждый элемент такого поля можно однозначно записать в виде полинома степени или ниже, и для коэффициентов таких полиномов имеется ровно возможностей. Оказывается, что все такие поля изоморфны, так что различные неприводимые полиномы степени приводят к изоморфным полям вычетов. Так построенные поля из элементов носят название полей Галуа и обозначаются Доказывается, что никаких других полей из конечного числа элементов не существует.