ГЛАВА VI. ПОЛИНОМЫ И ДРОБИ

§ 1. Теория делимости для полиномов от Одной буквы

1. Делимость в кольце.

Пусть А — коммутативная ассоциативная область целостности (т. е. кольцо без делителей нуля) с единицей. Говорят, что элемент делится на элемент , если существует такой элемент , что Говорят также, что а — кратное для b, b — делитель а, b делит а. Из этого определения ясно, что если делятся на b, то делится на b. если а делится на b и b делится на с, то а делится на с. Элемент кольца называется обратимым или единицей, если для него существует обратный , т. е. такой, что Элементы, отличающиеся обратимым множителем, называются ассоциированными. Ясно, что любой элемент делится на ассоциированные элементы и на единицы. Единицы и ассоциированные элементы считаются неинтересными, тривиальными делителями. Необратимые элементы, не имеющие делителей кроме тривиальных, называются неразложимыми. Теория делимости для данного кольца (или класса колец) заключается в выяснении характера разложения любого элемента кольца в произведение неразложимых. Если такое разложение существует и однозначно, с точностью до порядка следования сомножителей и замены сомножителей на ассоциированные, то кольцо называется факториальным.

Мы уже имели пример теории делимости для кольца целых чисел. В этом кольце имеются только две единицы ±1, неразложимыми элементами являются простые числа и имеет место теорема об однозначности разложения на простые множители, т. е. кольцо целых чисел факториально. Другим уже известным примером факториального кольца может служить кольцо полиномов над алгебраически замкнутым полем К. В этом кольце неразложимыми элементами являются только полиномы первой степени, которые ассоциированы с линейными двучленами вида Имеет место однозначное разложение на линейные множители

В кольце полиномов с коэффициентами из произвольного поля К единицами являются все элементы поля К, кроме нуля. Других единиц нет, ибо если то степени не могут быть больше нуля, т. е. константы из К. Ассоциированными являются полиномы, отличающиеся множителями из К.

Полиномы со старшим коэффициентом 1 называются нормализованными. Ясно, что любой полином из ассоциирован с нормализованным, и два нормализованных полинома ассоциированы, только если они совпадают.

2. Деление с остатком.

Теорема 1 (о делении с остатком). Для данных полиномов , существуют и единственны полиномы q и такие, что и степень меньше степени

Теорема эта очень похожа на соответствующую теорему теории делимости целых чисел. Полином q называется неполным частным, — остатком от деления f на

Доказательство. Пусть , причем . Применим метод математической индукции по степени полинома f, считая g фиксированным. Пусть . Тогда так что в качестве q можно взять 0, в качестве — сам f; оба требования будут выполнены. Этот случай дает базу для индукции. Допустим теперь, что для полиномов степени, меньшей , теорема доказана и докажем ее для полинома f, считая . Воспроизведем первый шаг известного процесса деления многочленов, т. е. построим одночлен и составим разность Полином

имеет меньшую чем степень, ибо при вычитании высшие члены исчезнут. В силу индуктивного предположения найдутся полиномы и такие, что . Тогда

Оба требования выполнены, если взять Остается доказать единственность. Пусть причем степени полиномов к меньше степени полинома g. Тогда но степень полинома меньше степени g. Это возможно, только если

3. Наибольший общий делитель двух полиномов.

Наибольшим общим делителем двух полиномов из кольца называется полином наибольшей степени среди полиномов с коэффициентами из поля К или любого его расширения делящих оба полинома U и

Заметим, что мы не предполагаем заранее, что наибольший общий делитель имеет коэффициенты из поля К, и «допускаем к конкурсу» полиномы с коэффициентами из любого, большего чем К, поля Так, для полиномов (с коэффициентами из поля Q рациональных чисел) наибольшим общим делителем будет как полином так и полином или полином

Теорема 2. Наибольший общий делитель двух полиномов единствен с точностью до ассоциированности и делится на любой общий делитель этих полиномов. Коэффициенты нормализованного наибольшего общего делителя полиномов из принадежат полю К Нормализованный наибольший общий делитель допускает линейное представление в виде , где и - некоторые полиномы из

Доказательство. Рассмотрим множество полиномов

Здесь предполагается, что независимо пробегают все полиномы из . В этом бесконечном множестве полиномов выберем отличный от нуля полином наименьшей степени. Покажем, что он является наибольшим общим делителем полиномов

Для этого прежде всего установим, что остаток от деления двух полиномов из множества W принадлежит этому множеству. Действительно, пусть принадлежат W, так что . Тогда остаток от деления на равный , где q — неполное частное, равен

Теперь легко доказать, что d есть наибольший общий делитель . Так как остаток от деления на d тоже принадлежит W, но степень этого остатка меньше степени d. Поэтому остаток равен нулю, ибо d — полином наименьшей степени среди отличных от нуля полиномов из W. Таким образом, делится на d. Аналогично, делится на d, так что d есть общий делитель Далее, и, следовательно,

при некоторых . Пусть — какой-то общий делитель с коэффициентами из К или какого-то большого поля. Тогда, по свойствам делимости, делится на . Поэтому степень d не меньше степени , так что d есть действительно наибольший общий делитель. Наконец, если - какой-либо другой наибольший общий делитель, то его степень равна степени d и, так как d делится на их частное есть константа, т. е. ассоциированы. Нормализованный наибольший общий делитель получится из посредством деления его на старший коэффициент Коэффициенты принадлежат К, и имеет линейное представление. Тем самым мы доказали все свойства наибольшего общего делителя, сформулированные в теореме.

Кроме двух свойств, аналогичных тем, которые мы видели в теории делимости для кольца Z целых чисел, следует отметить также, что коэффициенты нормализованного наибольшего общего делителя принадлежат тому же полю, что и коэффициенты данных полиномов. Это существенно и не совсем очевидно. Например, полиномы с рациональными коэффициентами оба имеют корнем число , так что нормализованный полином есть общий делитель , но это не наибольший общий делитель, ибо его коэффициенты не принадлежат полю рациональных чисел. Как легко видеть, здесь наибольший общий делитель есть .

Находить наибольший общий делитель двух полиномов можно тем же способом, что и для двух целых чисел, — алгорифмом Евклида. Именно, выполним цепочку делений с остатком:

Процесс оборвется, на каком-то шагу деление выполнится без остатка, ибо степень каждого последующего остатка меньше степени предыдущего.

Все остатки, которые мы строим, принадлежат множеству и мы «спускаемся» в смысле степени в этом множестве. Последний отличный от нуля остаток и будет искомым наибольшим общим делителем для Действительно, пересмотр равенств снизу вверх показывает, что является делителем , а пересмотр сверху вниз — что все остатки делятся на любой общий делитель . Очевидно, что из алгорифма Евклида следуют все свойства наибольшего общего делителя, сформулированные в теореме.

4. Свойства взаимно простых полиномов.

Два полинома называются взаимно простыми, если их нормализованный наибольший общий делитель равен 1, т. е. эти полиномы не имеют общих делителей, кроме констант.

Пр едложение 3. Для того чтобы полиномы были взаимно просты, необходимо и достаточно, чтобы существовали Такие, что .

Действительно, если , то всякий общий делитель для делит единицу и является константой. Если взаимно простые, то их нормализованный наибольший общий делитель 1 имеет линейное представление

Предложение 4. Если произведение делится на взаимно прост с , то делится на

Действительно, поскольку взаимно простые, найдутся такие, что Умножив на получим: Первое слагаемое правой части делится на ибо делится на второе делится на тривиальным образом, следовательно, их сумма делится на

Предложение 5. Если оба взаимно просты с g, то и их произведение взаимно просто с

Действительно, существуют такие, что Перемножив эти равенства, получим так что и g удовлетворяют признаку взаимной простоты.

Предложение 6. Если каждый из полиномов взаимно прост с g, то и их произведение взаимно просто с .

Это предложение доказывается очевидным проведением индукции на основании предложения 5.

Предложение 7. Если каждый из полиномов взаимно прост с каждым из полиномов то произведение взаимно просто с произведением

Это доказывается многократным применением предложения 6,

Предложение 8. Если взаимно просты, то взаимно просты.

Это непосредственно следует из предложения 7, достаточно положить

Отметим еще одно свойство взаимно простых полиномов, не имеющее аналога в теории делимости целых чисел.

Предложение 9. Если полиномы взаимно просты, то они не имеют общих корней ни в каком расширении основного поля.

Действительно, пусть принадлежат кольцу и взаимно просты. Пусть М — любое поле, содержащее поле К, и пусть Из взаимной простоты следует, что существуют полиномы такие, что Перейдя к значениям при получим откуда следует, что не могут одновременно равняться нулю.

5. Неприводимые полиномы.

Отличный от константы полином называется неприводимым в поле К, если он не имеет нетривиальных делителей в . В противном случае полином называется приводимым в поле К.

Очевидно, что неприводимые полиномы в теории делимости полиномов должны играть такую же роль, как простые числа в теории делимости целых чисел, т. е. роль неразложимых в кольце элементов.

Отметим, что понятие неприводимого полинома существенно привязано к полю. Так, полином непроводим в поле рациональных чисел, ибо он не имеет рациональных корней, но он приводим в поле R вещественных чисел:

Так, полином неприводим в поле

Предложение 10. Пусть неприводим в К. Тогда либо f делится на либо f взаимно прост с

Доказательство. Рассмотрим нормализованный наибольший общий делитель d полиномов Полином делится на d и Поэтому d или ассоциирован с или равен 1. В первом случае делится на ибо делится на d. Во втором взаимно просты.

Предложение 11. Если неприводимы в то они либо взаимно просты, либо ассоциированы.

Действительно, если не взаимно просты, то делится на делится на так что ассоциированы.

Предложение 12. Пусть и произведение делится на неприводимый в полином . Тогда один из сомножителей делится на

Действительно, либо делится на либо взаимно просты. Во втором случае делится на в силу предложения 4.

Предложение 13. Пусть и произведение делится на неприводимый в полином Тогда один из сомножителей делится на

Доказывается очевидным применением индукции на основании предложения 12.

Предложение 14. Если неприводимый над К полином имеет корень в некотором расширении поля К и этот корень является корнем полинома то f делится на

Действительно, не взаимно просты, ибо имеют общий делитель и, согласно предложению 10, f делится на

Отсюда следует, что любой корень полинома является корнем так что, по словам венгерского математика Пойа, «корни неприводимых полиномов ходят в гости всей семьей».

6. Каноническое разложение.

Предложение 15. Каждый полином степени 1 делится по крайней мере на один неприводимый в полином.

Доказательство индукцией по степени. Полиномы первой степени неприводимы. Далее, если f неприводим, то он делится на себя. Если приводим, то делится на полином меньшей степени, который по индуктивному предположению делится на неприводимый в полином Тогда и f делится на

Теорема 16. Любой полином из степени может быть представлен в виде произведения неприводимых над К полиномов, и такое представление единственно с точностью до порядка сомножителей и ассоциированности.

Доказательство. Пусть . В силу предложения 14 f делится на неприводимый полином , так что .

В свою очередь, делится на некоторый неприводимый полином так что и т. д. Процесс выделения неприводимых сомножителей закончится в конечное число шагов, ибо степени полиномов - строго убывают. Итак, где все неприводимы. Остается доказать единственность разложения. Применим индукцию по степени. Базу индукции дают полиномы первой степени. Пусть ггрг — два разложения полинома на неприводимые. Произведение делится на . В силу предложения 13 один из сомножителей делится на За счет изменения нумерации можно считать, что делится на Так как оба неприводимы, они ассоциированы, т. е. при . Положим Полином f имеет меньшую степень чем f и имеет два разложения на неприводимые сомножители: . В силу индуктивного предположения эти разложения совпадают с точностью до порядка сомножителей и ассоциированности, а значит, такими же будут разложения Теорема доказана.

Если считать неприводимые полиномы нормализованными, то в разложение следует ввести константный множитель равный коэффициенту в старшем члене полинома так что разложение принимает вид . В этой форме разложение единственно с точностью до порядка следования сомножителей. Среди сомножителей могут быть равные, и их можно объединить в степени. Разложение принимает вид

где — попарно различные нормализованные неприводимые в полиномы. Это разложение называется каноническим разложением на множители полинома из Оно аналогично разложению целых чисел в произведение простых.

Предложение 17. Над любым полем существует бесконечно много неприводимых полиномов.

Доказательство проведем по той же схеме, что и доказательство бесконечности множества простых чисел. Именно, если дана любая конечная совокупность неприводимых полиномов составим полином Он делится по крайней мере на один неприводимый полином , который не может равняться ни ни ни , ибо иначе 1 делилась бы на . Таким образом, для любого конечного множества неприводимых полиномов мы можем построить новый неприводимый полином, не содержащийся в этом множестве.

Предложение 17 тривиально, если поле содержит бесконечно много элементов, ибо над таким полем существует бесконечно много полиномов первой степени , которые все неприводимы, и содержательно лишь для конечных полей, к числу которых принадлежат кольца вычетов по простым модулям.

Для любого конечного поля существует лишь конечное число нормализованных полиномов степени (здесь q обозначает число элементов поля). Поскольку число неприводимых полиномов бесконечно, среди них существуют полиномы сколь угодно высокой степени. При помощи значительно более тонких рассуждений можно доказать, что над конечным полем существуют неприводимые полиномы любой степени.

Вычислим неприводимые полиномы второй и третьей степени над полем из двух элементов (полем вычетов по модулю 2). Полиномов первой степени два: . Полиномов второй степени четыре: . Из них приводимы Неприводимым оказывается один полином Полиномов третьей степени восемь. Из них шесть приводимы: Остальные два полинома неприводимы.

Аналогично, отбрасывая приводимые полиномы, которые легко конструируются из неприводимых полиномов меньших степеней, можно строить неприводимые полиномы четвертой, пятой степеней и т. д. Имеются и другие, более тонкие средства.

7. Каноническое разложение над полем R комплексных чисел и над полем С вещественных чисел.

Каноническое разложение над полем нам уже известно. Это разложение на линейные множители, соответствующие корням

Предложение 18. Над полем вещественных чисел неприводимыми полиномами являются только полиномы первой степени и полиномы второй степени, не имеющие вещественных корней.

Доказательство. Пусть и . Если полином f имеет вещественный корень, то он имеет делитель первой степени и, следовательно, приводим. Неприводимыми могут быть только полиномы, не имеющие вещественных корней. Пусть — такой полином. Он имеет по крайней мере один комплексный корень при Рассмотрим вспомогательный полином

Ясно, что неприводим над R, ибо иначе он имел бы делитель первой степени и вещественный корень. Полиномы f и не взаимно простые, ибо имеют общий корень в С и, следовательно, f делится на . Если степень равна 2, то f ассоциирован с и неприводим. Если степень f больше 2, то f приводим.

В силу доказанного предложения каноническое разложение полинома имеет вид:

Отметим простое, но важное следствие: если полином с вещественными коэффициентами имеет комплексный корень а , то он имеет и сопряженный корень той же кратности.

Действительно, комплексные корни а при являются корнями полиномов второй степени, входящих в каноническое разложение, а каждый такой полином вместе с корнем а имеет корень .

Пример. Найти каноническое разложение в полинома .

Здесь множителей первой степени нет, так как полином не имеет вещественных корней. Все комплексные корни простые, так что множители второй степени входят с показателями 1. Сперва напишем разложение в кольце для чего найдем корни

при . Корни при имеют аргументы меньше , так что они находятся в верхней полуплоскости. Корни при расположены в нижней полуплоскости и, в силу следствия из канонического разложения, сопряжены с корнями при (легко проверить непосредственно, что ) Поэтому