§ 5. Приближенное вычисление корней полинома

1. Метод десятичных испытаний.

Допустим, что мы нашли интервал , в котором находится один простой корень полинома Значения полинома на концах интервала имеют разные знаки. Разделим интервал на 10 равных частей и выберем ту часть, в которой находится корень.

Эта часть характеризуется тем, что на ее концах имеет разные знаки. Этот интервал снова разделим на 10 частей и выберем ту часть, в которой находится корень. После этого шага процесса мы получим корень с точностью до 10-2, но можно продолжить процесс дальше для достижения большей точности.

При фактических вычислениях можно увеличивать на каждом шагу интервал в 10 раз. В этом варианте процесс выглядит гак. Пусть корень полинома находится в интервале . Разложим по степеням что делается по схеме Хорнера, и перейдем к полиному после замены . Этот полином имеет корень в интервале (0, 10); заключаем его между и повторяем процесс. После двух шагов получаем: , так что корень известен с точностью до .

Пример. Легко видеть, что полином имеет только один вещественный корень, и он заключен в интервале (1, 2). Вычислить корень этого полинома с точностью до Разложим по степеням . Получим по схеме Хорнера . Заменим и умножим на 103. Получим . Посредством проб получим, что Разлагаем по степеням Получим . После замены и умножения на 103 получим , откуда найдем для корня: . Итак, мы получили .

Описанный метод удобен для вычисления с невысокой точностью корней полинома небольшой степени с небольшими коэффициентами. Его недостаток — быстрый рост коэффициентов от шага к шагу.