§ 2. Теория определителей

С линейными задачами, использующими теорию матриц, связан аппарат так называемых определителей, очень ценный по широте приложений к теоретическим вопросам.

1. Наводящие соображения.

Рассмотрим в общем виде систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными

Допустим, что система имеет решение и пара х, у составляет решение, так что оба уравнения уже обратились в верные равенства. Умножим обе части первого равенства на второго на и вычтем. Получим

Теперь первое равенство умножим на второе на , и сложим. Получим

Предположим, что . Тогда

Таким образом, предположив, что решение существует, мы смогли его найти. Теперь перед нами альтернатива — либо решение существует и тогда оно дается формулами (2), либо решение не существует. Для того чтобы отделаться от второй возможности, нужно только установить, что формулы (2) действительно дают решение системы, для чего следует подставить х и у из (2) в систему (1). Сделаем это:

Мы видим, что оба уравнения превратились в верные равенства.

Если а то наши рассуждения не приводят к законченному результату, и мы оставим этот случай пока в стороне.

В формулах (2) знаменатель один и тот же. Числители же очень похожи по форме записи на знаменатель.

Для выражения существует специальное название

определителя матрицы и специальное обозначение:

С помощью обозначений для определителей формулы (2) за писываются в виде

Применяя, например, эти формулы к решению системы

получим

Разумеется, понятие определителя было бы не нужным, если бы шла речь только о системах двух уравнений с двумя неизвестными. Результат может быть обобщен на линейные системы уравнений с неизвестными.

Рассмотрим еще случай Пусть дана система

Исключим сразу неизвестные у и . С этой целью умножим первое уравнение на второе на третье на и сложим. Получим

Ясно, что коэффициенты при у и z равны нулю.

Коэффициент при играет здесь такую же роль, как для систем второго порядка. Он называется определителем матрицы и обозначается:

В этих обозначениях, если определитель не равен нулю,

Аналогично,

Наш вывод имеет смысл при предположении, что решение существует. Однако, если подставить найденные выражения для х, у, z в исходную систему, можно убедиться в том, что все три уравнения обратятся в верные равенства.

Итак, мы показали, что формулы для решения в общем виде линейных систем уравнений при и имеют сходную структуру и основную роль в них играют определители второго порядка

и третьего порядка

Оба эти выражения представляют собой алгебраические суммы произведений элементов матриц, причем эти произведения составляются по одному элементу из каждой строки и по одному из каждого столбца. Все такие произведения входят в состав определителя. Произведения снабжаются знаками + и — по правилам

На этих рисунках соединены линиями элементы матрицы, составляющие произведения, входящие в определитель со знаками

Обратимся теперь к обобщению определителя для квадратных матриц любого порядка , исходя из формы этих выражений для

Здесь удобно обозначать элементы матрицы одной буквой, приписывая ей два индекса — номер строки и номер столбца. Дадим формальное определение определителя для квадратной матрицы порядка следующим образом:

Определителем квадратной матрицы порядка (или определителем порядка ) называется алгебраическая сумма всевозможных произведений элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки, по одному из каждого столбца и снабженных знаками «плюс» и «минус» по некоторому определенному правилу.

К вопросу о том, что это за правило, мы обратимся в ближайшее время, а пока попытаемся записать символически сформулированное выше определение. В каждом слагаемом определителя мы будем записывать сомножители в порядке следования строк. Номера столбцов будут составлять в совокупности все числа от 1 до , в различных порядках, причем во всех возможных порядках, так как определитель, согласно данному определению, составлен из всех произведений элементов, взятых по одному из каждой строки и по одному из каждого столбца. В буквенных обозначениях:

Здесь индексы пробегают все возможные перестановки чисел . Все перестановки должны быть разбиты на два класса так, чтобы одному классу соответствовали слагаемые со знаком «плюс», другому — со знаком «минус».