5. Вычитание и деление комплексных чисел.

Действия вычитания и деления определяются как действия обратные к действиям сложения и умножения, т. е. вычитание — как действие, восстанавливающее одно из слагаемых по данной сумме и второму слагаемому, а деление — как отыскание одного из сомножителей по данному произведению и второму сомножителю. Их возможность и единственность обосновывается следующими предложениями.

Предложение 1. Пусть — данные комплексные числа. Тогда существует одно и только одно комплексное число такое, что , именно, .

Доказательство. Имеем а так что удовлетворяет поставленному требованию. Обратно, если то так чтовсякое число, отличное от удовлетворяет поставленному требованию. Число есть, таким образом, разность чисел . Она обозначается обычным образом: .

Предложение 2. Пусть — данные комплексные числа, причем . Тогда существует одно и только одно комплексное число такое, что именно,

Доказательство. Если то Если то что и требовалось доказать. Число есть, таким образом, частное от деления на а.

Частное обычно записывается в форме дроби Ясно, что если то при любом будет откуда образом, числитель и знаменатель дроби можно умножать на Одно и то же число, отличное от 0.

Удобно фактически вычислять частное умножая числитель и знаменатель на число, сопряженное со знаменателем:

Так как есть вещественное число. Например,

Конечно, этот способ равносилен представлению числа в виде указанном выше для