3. Теорема о линейной зависимости линейных комбинаций.

Теорема 5. Пусть — две совокупности строк, и все строки второй совокупности суть линейные комбинации строк первой. Тогда, если совокупность и линейно зависима.

Доказательство проведем методом математической индукции по числу комбинируемых строк. Для утверждение почти очевидно. Пусть . Если то совокупность линейно зависима, так как содержит нулевую строку. Если , то имеется линейная зависимость:

Допустим теперь, что утверждение верно для совокупности из комбинируемых строк, и в этом предположении докажем его для .

Пусть

Если то утверждение верно, так как тогда являются линейными комбинациями строк Пусть один из этих коэффициентов отличен от нуля. Без нарушения общности можно считать, что Рассмотрим строки:

Вновь построенные строк являются линейными комбинациями строк . Так как , то . В силу индуктивного предположения строки образуют линейно зависимую совокупность. Это значит, что существуют не равные одновременно нулю коэффициенты такие, что

В последнее соотношение подставляем выражение строк через строки . Получим

откуда

Теорема доказана.

Следствие. Любая совокупность строк длины , содержащая более чем строк, линейно зависима.

Действительно, любая строка длины может быть представлена так:

т. е. является линейной комбинацией некоторых вполне опреде ленных строк. В силу только что доказанной теоремы, если числс строк больше , то их совокупность линейно зависима.