3. Извлечение квадратного корня.

Извлечение квадратного корня из комплексного числа можно осуществить, не обращаясь к тригонометрической форме. Выведем алгебраическую формулу для выполнения этого действия.

Пусть и положим, что , так как только этот случай представляет интерес. Тогда что равносильно системе уравнений

причем нас интересуют только вещественные решения этой системы. Мы уже знаем, что задача имеет решения.

Это дает право предположить, что под буквами х и у подразумевается решение задачи. Тогда . Складывая эти равенства, получим откуда причем здесь должно брать арифметическое значение корня, ибо Сопоставляя последнее равенство с первым уравнением системы, получим

По замыслу задачи правые части обоих равенств должны быть неотрицательны, и это действительно имеет место, ибо

Из последних равенств находим

Здесь снова берутся арифметические значения для корней, принимают значения ±1. Ясно, что так вычисленные числа х и у удовлетворяют первому уравнению системы Но они должны удовлетворять и второму: . Это дает

или, после очевидных преобразований,

откуда если , если , так , где обозначает знак b, т. е. , если , если .

Это дает формулу

Пример 1.

Пример 2.