Главная > Математика > Лекции по алгебре
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2. Деление с остатком.

Всем хорошо известно, что если деление целых чисел не выполняется «нацело», то возможно деление «с остатком». Придадим этому высказыванию точный смысл в виде следующей теоремы.

Теорема 3. Пусть (т. е. а и b являются целыми числами) и . Существуют целые числа q (неполное частное) и (остаток) такие, что . Эти требования однозначно определяют q и .

Доказательство. Положим сначала, что Рассмотрим рациональное (не обязательно целое) число Если оно целое, то положим . Если же а не целое, то найдутся два соседних целых числа, в промежуток между которыми попадает а. Меньшее из них обозначим через q. Тогда Итак, в обоих случаях мы нашли целое число q такое, что Умножим все три части этого двойного неравенства на b. Так как знаки неравенства должно сохранить:

откуда . Положим . Это целое число, и, так как , а числа и b оба целые, должно выполняться более сильное неравенство Итак,

Пусть теперь Тогда Применив предыдущее построение к числам а и , найдем целые числа q и такие, что . Полагая получим Тем самым существование q и доказано как для положительных, так и для отрицательных b.

Остается доказать единственность чисел q и . Пусть причем, разумеется, числа все целые. Тогда Положим, что . Тогда ибо . С другой стороны, самое большее возможное значение для есть самое меньшее: . Таким образом, — откуда что противоречит установленному ранее

Мы пришли к противоречию, доказывающему неверность сделанного предположения . Следовательно, , а тогда и . Теорема доказана.

Замечание. По ходу доказательства мы использовали то обстоятельство, что для любого вещественного а (у нас а было рациональным) найдется целое q такое, что q Такое число q называется целой частью а и обозначается . Например, [5] .

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление