§ 2. Подпространства унитарного (или евклидова) пространства

1. Ортонормальный базис подпространства и его дополнение до ортонормального базиса пространства.

Любое подпространство унитарного (или евклидова) пространства само является унитарным (евклидовым) по отношению к тому же скалярному умножению.

Пусть Р есть -мерное подпространство -мерного унитарного (евклидова) пространства S. Пусть ортонормальный базис Р. Дополним его до базиса S, присоединив векторы Применим к базису процесс ортогонализации. Первые векторы при этом не изменятся, так как они попарно ортогональны. Получим ортогональный базис . Чтобы получить ортонормальный базис S, остается только нормировать векторы

2. Ортогональное дополнение.

Пусть S есть -мерное унитарное (или евклидово) пространство и Р его -мерное подпространство, — 1. Ортогональным дополнением к подпространству Р называется множество всех векторов из S, ортогональных всем векторам из Р. Ясно, что если векторы ортогональны всем векторам из Р, то любая их линейная комбинация обладает тем же свойством. Поэтому есть подпространство

Пусть ей ортонормальный базис Р и — включающий его ортонормальный базис . Натянем на векторы , подпространство Q. Любой вектор из Q, будучи линейной комбинацией векторов , ортогонален векторам и, следовательно, любой их линейной комбинации, т. е. любому вектору из Р. Следовательно, Пусть теперь вектор Тогда при так что . Итак, любой вектор из Q принадлежит и любой вектор из принадлежит Q. Подпространства Q и совпадают.

Таким образом, ортогональное дополнение к подпространству Р есть подпространство, натянутое на векторы, дополняющие ортонормальный базис Р до ортонормального базиса

Теперь легко установить следующие свойства ортогональных дополнений.

1.

Непосредственно следует из построения базиса

2.

Действительно, в качестве векторов, дополняющих ортонормальный базис подпространства до ортонормального базиса S, можно взять и натянутое на эти векторы, подпространство совпадает с Р.

3.

Ясно из определения ортогонального дополнения.

4.

Действительно, любой вектор из ортогонален всем векторам из и всем векторам из т. е. принадлежит

Обратно, любой вектор из ортогонален всем векторам из и всем векторам из и любым их суммам, т. е. принадлежит

Перейдя в свойстве 4 к ортогональным дополнениям, получим Заменив в этом равенстве на получим:

5.

Таким образом, переход к ортогональным дополнениям обращает отношение включения подпространств и переставляет операции сложения и пересечения подпространств.

6.

Действительно, базис S есть объединение базисов Р и В этой ситуации говорят, что пространства S есть ортогональная сумма подпространств Р и

Более общо, скажем, что S есть ортогональная сумма своих подпространств если причем векторы, взятые из различных подпространств, ортогональны. Ортогональная сумма всегда прямая, ибо из равенства при у, следует равенство нулю всех слагаемых ибо наличие ненулевых слагаемых в левой части противоречило бы линейной независимости ненулевых попарно ортогональных векторов.