Процесс ортогонализации.

Сущность процесса ортогонализации дана при доказательстве теоремы.

ТЕОРЕМА 5.4. Пусть — конечномерное векторное пространство с невырожденным скалярным умножением. Ортогональную систему ненулевых векторов, не являющуюся базисом пространства, можно дополнить до ортогонального базиса пространства.

Доказательство. Пусть и

— ортогональная система ненулевых векторов пространства , не являющаяся базисом пространства, т. е. . По теореме 3.6, систему (1) можно дополнить до базиса. Пусть

— базис пространства . Положим

и найдем, при каких значениях скаляров вектор ортогонален ко всем векторам исходной системы (1), т. е. удовлетворяет условиям

В силу (3) и ортогональности системы (1) эти условия можно записать в виде

Так как эти условия можно записать в виде

При таком выборе коэффициентов в равенстве (3) вектор удовлетворяет условиям (4), т. е. ортогонален к каждому вектору системы (1). Из (3) в силу линейной независимости системы следует, что Следовательно, есть ортогональная система ненулевых векторов.

Если то аналогичным образом находится ненулевой вектор ортогональный к векторам Продолжая этот процесс, называемый процессом ортогонализации системы (2), получим ортогональную систему ненулевых векторов пространства . По следствию 5.3, эта система есть ортогональный базис пространства и, следовательно, является искомым дополнением исходной системы (1) до ортогонального базиса пространства .

Легко видеть, что применение процесса ортогонализации к линейно зависимой системе ненулевых векторов приведет к системе, содержащей нулевой вектор.

СЛЕДСТВИЕ 5.5. Любое конечномерное ненулевое векторное пространство с невырожденным скалярным умножением обладает ортогональным базисом.

Доказательство. В самом деле, по теореме 3.1, ненулевое конечномерное пространство обладает базисом. Пусть

— базис пространства . Считая исходной ортогональной системой и применяя к системе (1) процесс ортогонализации, получаем ортогональный базис пространства .

Ортогональное дополнение к подпространству. Пусть — векторное пространство со скалярным умножением и . Если вектор а из V ортогонален к каждому вектору из М, то это записывается в виде Символом - обозначается множество всех элементов пространства , ортогональных к М:

Легко проверить, что множество не пусто и замкнуто в , замкнуто относительно сложения и умножения на скаляры.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Подпространство пространства с основным множеством называется ортогональным к множеству М.

Если — подпространство пространства , то символом обозначается подпространство с основным множеством

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Подпространство называется ортогональным к в пространстве или ортогональным дополнением к в пространстве .

Пример. Пусть арифметическое векторное пространство над полем со стандартным скалярным умножением.

Пусть и

Рассмотрим однородную систему линейных уравнений

над полем Легко видеть, что множество совпадает с множеством всех решений системы (1). Пусть Легко проверить, что каждый вектор, ортогональный к М, ортогонален к любой линейной комбинации векторов Обратно: каждый вектор из ортогонален к М, т. е. . Таким образом, . Следовательно, пространство решений однородной системы линейных уравнений (1) совпадает с пространством

ТЕОРЕМА 5.6. Пусть - векторное пространство со скалярным умножением и — его конечномерное подпространство, в котором скалярный квадрат любого ненулевого вектора отличен от нуля. Тогда ХК Доказательство. Если — нулевое подпространство, то, очевидно, теорема верна.

Предположим, что — ненулевое подпространство. Докажем, что

В самом деле, если то . По условию, при Поэтому для из следует, что

Далее, докажем, что

По условию, — ненулевое конечномерное векторное пространство с невырожденным умножением. В силу следствия 5.5 обладает ортогональным базисом. Пусть

— ортогональный базис пространства . Достаточно показать, что для всякого вектора а из L существуют скаляры и вектор такие, что

Умножив обе части равенства (4) скалярно на вектор получим . Поскольку , то отсюда следуют равенства

При таком выборе скаляров А вектор ортогонален к каждому вектору базиса (3), так как в силу (4) и (5)

Поэтому вектор ортогонален к любой линейной комбинации векторов и, значит, ортогонален к L; следовательно,

На основании (4) и (6) заключаем, что имеет место прямое разложение (2). СЛЕДСТВИЕ 5.7. Если — конечномерное подпространство векторного пространства с невырожденным скалярным умножением, то

СЛЕДСТВИЕ 5.8. Если — подпространство конечномерного векторного пространства с невырожденным скалярным умножением, то

ТЕОРЕМА 5.9. Если — подпространство конечномерного векторного пространства с невырожденным скалярным умножением, то Доказательство теоремы 5.9 предоставляется читателю.