Теорема о наибольшем возможном числе корней полинома в области целостности.

Пусть — кольцо полиномов над кольцом

ТЕОРЕМА 1.12. Пусть — область целостности. Любой полином из степени имеет не более различных корней в

Доказательство проводится индукцией по . Если , т. е. где то полином f имеет нуль корней. Предположим, что любой полином из К М степени имеет не более корней. Пусть Если f не имеет корней в , то теорема верна. Если же f имеет корни в то для некоторого элемента из К. По теореме Беду, где при этом, поскольку — область целостности, в силу предложения 1.7 степень полинома g равна .

Элемент кольца отличный от есть корень полинома f тогда и только тогда, когда , т. е. когда поскольку — область целостности. Так как степень g равна , то, по индуктивному предположению, - g имеет не более различных корней в . Следовательно, полином f степени имеет в не более различных корней.

СЛЕДСТВИЕ 1.13. Если полином имеет в области целостности более чем различных корней, то f является нулевым полиномом.