Основные свойства определителей.

Сформулируем и докажем наиболее часто встречающиеся свойства.

СВОЙСТВО 4.1. Определители квадратной матрицы А и транспонированной матрицы А равны.

Доказательство. Пусть — квадратная матрица порядка и где

Тогда имеем:

Так как

расположить в верхней строке числа в порядке возрастания, произведении множители расположим так, чтобы первые индексы шли в порядке возрастания; в результате получим

и равенство (1) можно записать в виде

Так как подстановка пробегает все элементы множества по одному разу, когда пробегает все элементы этого множества по одному разу, то сумма в равенстве (2) равна определителю матрицы А. Следовательно,

СВОЙСТВО 4.2. При перестановке двух столбцов (строк) матрицы ее определитель меняет знак.

Доказательство. Пусть есть и -матрица и — матрица, полученная из матрицы А в результате перестановки двух столбцов с индексами s и t. Пусть — транспозиция из переводящая s в тогда Для поэтому

По теореме . Кроме того, когда подстановка пробегает все элементы множества по одному разу, подстановка также пробегает все элементы этого множества по одному разу.

Следовательно, получаем

т.е.

СВОЙСТВО 4.3. Определитель матрицы, имеющий два одинаковых столбца (строки), равен нулю.

Доказательство. Предположим, что матрица имеет два одинаковых столбца, например Обозначим транспозицию через а. Тогда равенство влечет равенство

Каждой подстановке из поставим в соответствие подстановку Тогда подстановке соответствует подстановка , так как Назовем множество парой соответствующих друг другу подстановок. Множество распадается на попарно непересекающиеся пары таких подстановок. Следовательно, мы получаем разбиение множества

где — множество всех четных подстановок степени п. Поэтому равенство

можно записать в виде

Кроме того, по теореме 3.4,

На основании (1) и (3) заключаем, что

Таким образом, каждое слагаемое в сумме (2) равно нулю; следовательно,

СВОЙСТВО 4.4. Если все элементы какой-либо строки (столбца) матрицы А умножить на скаляр , то на скаляр умножится определитель матрицы А.

Доказательство. Пусть — квадратная матрица порядка и В — матрица, получающаяся из матрицы А в результате умножения строки на скаляр А:

Тогда, по определению определителя,

СЛЕДСТВИЕ 4.4. Определитель матрицы, у которой какие-либо две строки (столбца) пропорциональны, равен нулю.

СВОЙСТВО 4.5. Если каждый элемент строки (столбца) квадратной матрицы А есть сумма слагаемых, то определитель матрицы А равен сумме определителей, причем в матрице первого определителя в строке (i-м столбце) стоят первые слагаемые, в матрице второго — вторые и т. д., а остальные строки те же, что и в матрице А.

Доказательство. Предположим, что каждый элемент строки матрицы А есть сумма слагаемых:

В равенстве

в каждом слагаемом суммы заменим множитель суммой слагаемых по формуле (1) и представим всю сумму в виде слагаемых;

Заменив каждую из сумм определителем, получим искомое равенство

СВОЙСТВО 4.6. Если к какому-нибудь столбцу (строке) матрицы определителя прибавить другой столбец (строку) матрицы, умноженный на произвольный скаляр, то определитель матрицы не изменится.

Доказательство. Запишем -матрицу А в виде

Предположим, что матрица В получается из матрицы А в результате прибавления к первому столбцу столбца, умноженного на скаляр , т. е.

По свойству 4.5, определитель матрицы В можно представить в виде суммы двух слагаемых:

В этой сумме второй определитель равен нулю, так как имеет два одинаковых столбца; следовательно,

СЛЕДСТВИЕ 4.5. Если к какому-нибудь столбцу (строке) матрицы определителя прибавить линейную комбинацию других столбцов (строк) матрицы, то определитель матрицы не изменится.

СВОЙСТВО 4.7. Если какой-нибудь столбец (строка) квадратной матрицы есть линейная комбинация других столбцов (строк) матрицы, то определитель матрицы равен нулю.

Это свойство легко вытекает из следствия 4.5.