Основные свойства операций над множествами.

Операции объединения и пересечения над множествами обладают рядом свойств. Мы рассмотрим основные, наиболее важные свойства этих операций.

ТЕОРЕМА 1.3. Для любых множеств А, В и С имеем:

— идемпотентность объединения;

— идемпотентность пересечения;

— коммутативность объединения;

— коммутативность пересечения,

— ассоциативность объединения,

— ассоциативность пересечения,

— дистрибутивность объединения относительно пересечения,

— дистрибутивность пересечения относительно объединения.

Доказательство. Первые четыре свойства, свойства идемпотентности и коммутативности, легко следуют из определения операций объединения и пересечения. Для того чтобы доказать свойство ассоциативности (5), достаточно заметить, что есть множество элементов, принадлежащих множеству А, или множеству В, или множеству С, и множество состоит из тех же элементов. Аналогично доказывается свойство (6).

Докажем свойство (7). Пусть

Надо доказать, что множества D и Е равны, т. е. (а) если , то если то .

Пусть . Тогда возможны два случая:

В случае следовательно, . В случае так что ; следовательно,

Предположим теперь, что тогда

При этом если , то так что ; следовательно, . Если , то . Из (а) и следует равенство (5).

Свойство дистрибутивности (8) доказывается аналогично.