Правило Крамера.

Рассмотрим систему линейных уравнений с переменными

над полем Обозначим через А основную матрицу этой системы:

ТЕОРЕМА 6.3. Если , то система линейных уравнений (1) имеет единственное решение, выражаемое формулами

Доказательство. Полагая запишем систему (1) в виде матричного уравнения

равносильного системе (1). По теореме 5.9, из условия следует, что строки матрицы А линейно независимы и системы (3) и (I) имеют единственное решение

Отсюда, поскольку (по теореме получаем

и

Из последнего равенства следуют формулы (2).

Формулы (2) обычно называют формулами Крамера, а теорему 6.3 — правилом Крамера.

Обозначим через матрицу, которая получается из матрицы А в результате замены столбца столбцом свободных членов системы (1):

Разлагая определитель матрицы по столбцу, получаем

Эти равенства позволяют переформулировать теорему 6.3 следующим образом.

ТЕОРЕМА 6.4. Если то система линейных уравнений (1) имеет единственное решение, выражаемое формулами