§ 4. ОТДЕЛЕНИЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ КОРНЕЙ ПОЛИНОМА

Система полиномов Штурма.

Пусть f — полином с действительными коэффициентами, а и b, — произвольные действительные числа, не являющиеся корнями полинома.

Ниже методом Штурма решается задача о нахождении точного числа различных действительных корней полинома f в интервале

Пусть дана конечная последовательность действительных чисел, например 2, 5, —3, 4, —5, —2, 7. Знаки чисел этой последовательности чередуются следующим образом: и меняются четыре раза. Таким образом, в данной последовательности имеется четыре перемены знаков.

Пусть f — полином положительной степени с действительными коэффициентами, не имеющий кратных действительных корней. Определим конечную последовательность полиномов исходя из данного полинома

Таким образом, мы применяем к полиномам f и алгоритм Евклида (способ последовательной деления), изменяя при этом всякий раз знак остатка на противоположный.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Последовательность полиномов называется системой полиномов Штурма для

Отметим некоторые свойства полиномов системы Штурма.

СВОЙСТВО 4.1. Любые два соседних полинома системы Штурма не имеют общих действительных корней.

Доказательство. Это утверждение верно для полиномов так как f не имеет кратных действительных корней. Три рядом стоящие полинома связаны равенством

В силу этого равенства одновременное обращение в нуль соседних полиномов повлекло бы за собой одновременное обращение в нуль затем то же для полиномов и т. д., наконец, для полиномов что невозможно.

СВОЙСТВО 4.2. Если у — действительный корень промежуточного полинома то числа имеют разные знаки.

Доказательство. В самом деле, если то, полагая в равенстве получаем