§ 6. ОБРАЩЕНИЕ ОБЫКНОВЕННОЙ ДРОБИ В СИСТЕМАТИЧЕСКУЮ И ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДЛИНЫ ПЕРИОДА СИСТЕМАТИЧЕСКОЙ ДРОБИ

Периодическую m-ичную дробь

кратко записывают в виде

При этом называется периодом дроби, — предпериодом дроби. Число k называется длиной периода, число l — длиной предпериода.

Периодическая -ичная дробь называется нормированной, если выполнены условия:

(Р) период имеет наименьшую возможную длину.

Если нормированная периодическая -ичная дробь представляет число а, т. е. то говорят, что дробь есть нормированное разложение числа а в периодическую -ичную дробь.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 6.1. Пусть — фиксированное натуральное, большее единицы число. Для любого заданного положительного рационального числа а существуют целое число h и натуральные числа такие, что

При этом если целое число и натуральные числа удовлетворяют условиям

то

Доказательство. Представим рациональное число а в виде несократимой дроби Обозначим через наибольший натуральный делитель знаменателя v, взаимно простой с . Тогда каждый простой делитель числа q делит поэтому существуют целые числа t такие, что Обозначим через наименьшее целое число такое, что — . Пусть , тогда

Полагая видим, что числа h, с, удовлетворяют условиям (I).

Предположим, что числа удовлетворяют условиям тогда Пусть тогда Так как, по условию, то поэтому значит, и Так как несократимы, то

СЛЕДСТВИЕ 6.2. Для фиксированного и данного положительного рационального числа а существует единственное целое число h такое, что дробь имеет взаимно простой с знаменатель и не делящийся на числитель.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Представление положительного рационального числа а в виде

где , будем называть - представлением числа а. Число h будем обозначать также через

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 6.3. Если периодическая -ичная дробь

удовлетворяет условию то ее предпериод имеет наименьшую возможную длину.

Доказательство. Действительно, если , то

т. е. можно уменьшить длину предпериода дроби. ПРЕДЛОЖЕНИЕ 6.4. Пусть дробь

есть разложение в периодическую -ичную дробь положительного рационального числа а. Пусть

есть - представление числа а. Тогда равносильны следующие утверждения:

где

Доказательство, . Определим числа А и В следующими равенствами:

Так как то из (а) следует

На основании (1), (2) и (3) заключаем, что

т. е. имеет место

Согласно условию,

значит,

Легко видеть, что

Согласно условию отсюда следует, что

т. е. . Кроме того, ввиду (II) и (4)

Согласно предложению 6.1 из (5) и (6) следует равенство

По условию,

Из (7) и (8) следует

значит, выполняется (6);

Из условия () следует, что

т. е. Кроме того, . Следовательно, . В силу (1), (2) отсюда следует, что .

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 6.5. Пусть а есть разложение в периодическую -ичную дробь положительного рационального числа т. е.

Тогда длина k периода делится на порядок класса вычетов

Доказательство. По условию,

Положим

Тогда (2) можно записать в виде

Следовательно,

. А так как , то , т. е.

В силу предложения 5.2 из (4) следует, что k делится на порядок класса вычетов .

ТЕОРЕМА 6.6. Рациональное число тогда и только тогда разлагается в чисто периодическую -ичную дробь с наименьшим периодом

когда выполнены условия

При этом длина k наименьшего периода равна порядку класса вычетов и последовательность совпадает с последовательностью цифр в -адическом представлении числа

Доказательство. Пусть дано положительное рациональное число а, представленное несократимой дробью удовлетворяющей условиям (2). Положим .

Умножив числитель и знаменатель дроби на получим

Пусть

есть -адическое представление числа а.

Ввиду (3)

Из (4) и (5) следует, что

т. е. получено разложение числа а в чисто периодическую дробь с периодом длины

При этом в силу предложения 6.5 длина k периода является минимальной и последовательность совпадаете последовательностью цифр в -адическом представлении числа

Теперь предположим, что дано разложение числа в чисто периодическую дробь с наименьшим периодом, т. е.

Пусть

Тогда

и поэтому

Ввиду (7) и . Отсюда и из (8) следует, что

Из (8) имеем , а так как , то , т. е.

и, значит,

Из (9), согласно предложению 5.2, следует, что . По условию, k есть наименьший период, следовательно, в силу предложения . Ввиду (8) Далее, ввиду (2)

Таким образом, последовательность цифр периода дроби совпадает с последовательностью цифр в -адическом представлении числа

ТЕОРЕМА 6.7. Любое положительное рациональное число а обладает нормированным разлооюением в периодическую -ичную дробь При этом если есть - представление числа а, то:

3) последовательность совпадает с последовательностью цифр в -адическом представлении числа В, где

4) последовательность совпадает с последовательностью цифр в -адическом представлении числа А, где

Доказательство. Согласно предложению 6.1, для числа а существуют целое число h и натуральные числа с, такие, что

Число с можно представить в виде , где и В — некоторое натуральное число, поэтому

Следовательно, имеем:

По теореме 6.6, правильная дробь разлагается в чисто периодическую -ичную дробь

При этом длина k наименьшего периода равна порядку класса вычетов ,

и последовательность совпадает с последовательностью цифр в -адическом представлении числа А, где

Пусть есть -адическое представление числа В. Тогда в силу (I), (2) и (3) имеем

поэтому

Так как , то из (6) согласно предложению 6.4 следует неравенство . Кроме того, ввиду (4) и предложения 6.5 длина k периода в разложении (6) является наименьшей. Таким образом, (6) является нормированным разложением числа а в периодическую -ичную дробь.