Упражнения

1. Укажите, при каком значении полиномы имеют общий корень в поле комплексных чисел.

2. Найдите наибольший общий делитель полиномов и его линейное представление через эти полиномы.

3. Найдите наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное полиномов

4. Найдите наименьшее общее кратное полиномов

5. Пусть - кольцо полиномов над полем — полиномы из Найдите в наименьший, идеал, содержащий все эти полиномы.

6. Пусть — кольцо полиномов над полем . Докажите, что множество всех общих кратных двух данных полиномов из является идеалом кольца

7. Пусть и -полиномы из удовлетворяющие равенству где а, b, с Найдите в множество всех решений уравнения

8. Докажите, что если полином h ззаимно простой с полиномами и g, то h взаимно простой с

9. Докажите неприводимость над полем полинома

10. Пусть — полином из такой, что любой другой полином из либо взаимно простой с , либо делится на . Докажите, что полином неприводим над полем .

11. Пусть - кольцо полиномов над числовым полем Пусть с — степень неприводимого над 3 полинома, и с делит Докажите, что с делит а или с делит для некоторого натурального

12. Пусть -каноническое разложение полинома над полем Сколько нормированных делителей с коэффициентами из F имеет полином

13. Пусть — кольцо полиномов над числовым полем — неприводимый над 3 полином и — идеал, порожденный полиномом , Докажите, что фактор-кольцо является полем.