Нормальное представление полинома и степень полинома.

Пусть N — множество всех натуральных чисел и — фиксированное натуральное число, отличное от нуля. Для любого натурального числа k определим множество

Отметим, что

Полином называется нулевым, если все его коэффициенты равны нулю.

ТЕОРЕМА 1.6. Пусть f — ненулевой полином из кольца полиномов Для полинома f существует натуральное число и такое представление

что хотя бы для одного ненулевого коэффициента Это представление единственно в том смысле, что если

— другое такое представление, то для всех из при .

Доказательство. Пусть

где М — конечное подмножество множества . В этой сумме нет подобных членов, и поскольку — ненулевой многочлен, то в сумме (4) есть ненулевые коэффициенты. Так как множество М конечно, существует натуральное число , удовлетворяющее условиям

и

Пусть . Положим к

На основании (4) заключаем, что

Поскольку при из (5) следует представление (2).

Допустим, что кроме представления (2) существует представление (3). Если то, вычитая из равенства (2) равенство (3), получаем

В силу алгебраической независимости элементов все коэффициенты в (6) равны нулю, в частности

что противоречит условию теоремы. Аналогично убеждаемся в невозможности неравенства поэтому .

Таким образом, равенство (6) можно записать в виде

В силу алгебраической независимости из (7) следует, что для всех где

Представление (2) теоремы 1.6 называется нормальным представлением полинома.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Степенью одночлена с ненулевым коэффициентом называется сумма

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Степенью ненулевого полинома называется наибольшая из степеней ненулевых одночленов, входящих в нормальное представление полинома

Степень нулевого полинома не определяется. Степень полинома обозначается символом

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Полином степени называется однородным, если

Однородный полином первой степени называется линейным полиномом.

Отметим простейшие свойства степени полинома. ТЕОРЕМА 1.7. Пусть и g — любые ненулевые полиномы кольца полиномов Тогда:

Доказательство теоремы 1.7 предоставляется читателю.