Двучленные сравнения.

Двучленным сравнением называется сравнение вида

где степень положительна. Если — простое число, то сравнение (1) равносильно сравнению

Для того чтобы сравнение (2) было разрешимо, необходимо и достаточно, чтобы число делило разность . Если это условие выполнено, то сравнение (2) имеет d решений по модулю следовательно, сравнение (1) имеет точно d решений по модулю .

Пример. Решим сравнение

Сравнение (2) в этом случае имеет вид

Последнее сравнение совместно, так как (8,12) делит 4, и имеет следующие четыре решения:

Поэтому сравнение (3) имеет четыре решения:

Двучленное сравнение (1) можно свести к более простому, умножив обе части сравнения на число а, обратное к а по модулю . Умножив, получим . Таким образом, любое двучленное сравнение можно привести к простейшему виду:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Число а называется k-степенным вычетом по модулю если сравнение имеет хотя бы одно решение.

Пусть — простое число и

ТЕОРЕМА 5.13. Для любого вычета а по простому модулю равносильны следующие утверждения:

Доказательство. . Пусть а есть -степенной вычет; тогда существует вычет взаимно простой с , удовлетворяющий сравнению .

Следовательно, т. e. выполняется

Согласно предложению 5.2, из сравнения следует ;

. Из условия следует, что

Пусть g есть первообразный корень по модулю . Тогда и в силу

Поэтому согласно предложению 5.2

следовательно, т. e. выполняется (6).

. Рассмотрим сравнение

Так как то это сравнение имеет решение. Пусть -решение этого сравнения, . Тогда , следовательно, , т. е. а есть -степенной вычет по модулю . Таким образом,