Ядро и образ линейного оператора.

Пусть — линейный оператор векторного пространства Множество обозначается . Другими словами, множество есть полный прообраз нулевого вектора при отображении . В силу линейности оператора это множество замкнуто относительно сложения и умножения на скаляры. Следовательно, существует подпространство пространства с основным множеством Кегф.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Подпространство векторного пространства с основным множеством называется ядром линейного оператора и обозначается Размерность ядра называется дефектом оператора дефект

Множество обозначается через или . В силу линейности оператора это множество замкнуто относительно сложения и умножения на скаляры. Следовательно, существует подпространство пространства с основным множеством

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Подпространство векторного пространства с основным множеством называется образом линейного оператора и обозначается Размерность образа оператора называется рангом оператора ранг

ТЕОРЕМА 1.4. Пусть — линейный оператор конечномерного векторного пространства . Тогда (1) сумма ранга и дефекта оператора равна

Доказательство. Первый случай: Если — нулевое пространство, то легко видеть, что заключение теоремы выполняется.

Предположим, что — ненулевое пространство. Пусть — базис пространства . Тогда система векторов порождает пространство

Эта система векторов линейно независима. Действительно, если

то ввиду линейности оператора

Так как , то отсюда следует, что

и в силу линейной независимости векторов

Таким образом, система является базисом пространства и поэтому ранг равен . Кроме того, дефект равен нулю. Следовательно, имеет место утверждение (1).

Второй случай: . Пусть дефект равен — базис ядра оператора базис пространства . Если то, очевидно, утверждение (1) выполняется. Предположим, что . В этом случае систему можно дополнить до базиса пространства . Пусть — базис пространства тогда

Так как

т. е. система векторов порождает пространство

Эта система линейно независима. Действительно, если

то в силу линейности оператора

откуда

Так как — базис пространства то существуют такие скаляры что

и

В силу линейной независимости векторов отсюда следует, что равны нулю все коэффициенты в левой части равенства, в частности и . Таким образом, система векторов является базисом пространства и ранг равен . Следовательно, верно утверждение (1).