Однородные системы линейных неравенств и выпуклые конусы.

Пусть — арифметическое векторное пространство над полем действительных чисел — векторы пространства .

Система

называется однородной линейной системой неравенств.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Непустое множество векторов векторного пространства , замкнутое относительно сложения и умножения на неотрицательные скаляры (неотрицательные действительные числа), называется выпуклым конусом пространства .

Примеры. 1. Пусть Множество

есть выпуклый конус пространства . Этот конус называется полупрямой, порожденной вектором а.

2. Множество всех неотрицательных комбинаций системы векторов пространства есть выпуклый конус этого пространства; его мы будем обозначать через

3. Пусть — подпространство пространства и L — его основное множество. Тогда L есть выпуклый конус пространства .

4. Множество всех неотрицательных решений однородной линейной системы неравенств (1) есть выпуклый конус пространства .

5. Пусть Множество всех решений неравенства есть выпуклый конус пространства . Этот конус называется полупространством пространства , определяемым вектором а.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.2. Множество всех решений однородной линейной системы (1) есть выпуклый конус векторного пространства .

Доказательство этого предложения предоставляется читателю.

СЛЕДСТВИЕ 1.3. Если — ненулевые векторы, то конус всех решений однородной линейной системы (1) является пересечением полупространств пространства , определяемых векторами