Кольца главных идеалов.

В классе областей целостности необходимо выделить и изучить такие кольца, у которых каждый идеал был бы главным.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Кольцом главных идеалов называется область целостности, в которой каждый идеал является главным.

Примеры. 1. Любое поле есть кольцо главных идеалов.

2. Кольцо целых чисел является кольцом главных идеалов.

Напомним, что множество где а, b — фиксированные элементы К, является идеалом коммутативного кольца .

Рассмотрим свойства колец главных идеалов.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.9. Пусть — простой элемент кольца главных идеалов и . Если не делит а, то

Доказательство. По условию, каждый идеал кольца — главный. Следовательно, существует в такой элемент с, что . Элемент с делит элементы и а:

Так как с — делитель простого элемента , то или с делит 1. Если , то и поскольку в силу то что противоречит условию. Поэтому с делит 1. Следовательно,

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.10. Пусть — простой элемент кольца главных идеалов Если делит то делит а или b.

Доказательство. Если не делит а, то в силу предложения 3.9 . Следовательно, существуют такие элементы и, v, что . Умножив обе части равенства на b, имеем . Следовательно, если делит то делит и b. Таким образом, если а, то .

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.11. Пусть — простой элемент кольца главных идеалов и Если делит произведение то делит хотя бы один из сомножителей

Доказательство этого предложения проводится индукцией по на основании предложения 3.10.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Последовательность главных идеалов кольца называется возрастающей цепочкой идеалов, если

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.12. В кольце главных идеалов возрастающая цепочка идеалов не может быть бесконечной.

Доказательство. Пусть (1) — возрастающая цепочка кольца главных идеалов. Обозначим через объединение всех идеалов цепочки (1), т. е.

Непосредственная проверка показывает, что множество I замкнуто относительно вычитания и устойчиво относительно умножений на элементы кольца . Поэтому I есть идеал кольца и притом главный. Следовательно, в К имеется такой элемент с, что . В силу (2) найдется такой индекс , что с как с то Следовательно, идеал является последним звеном в цепочке (1).