§ 3. ЦИКЛИЧЕСКИЕ ГРУППЫ

Порядок элемента группы.

Пусть — мультипликативная группа, — ее единичный элемент и

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Порядком элемента а группы называется наименьшее отличное от нуля натуральное число такое, что . Если же для любого ненулевого натурального числа , то а называется элементом бесконечного порядка.

Порядок элемента а группы обозначается через

Пример. В мультипликативной группе комплексных чисел

Ниже будет использована следующая теорема (см. теорему 4.4.4 о делении с остатком).

Для целых чисел существуют такие целые числа q и , что

ТЕОРЕМА 3.1. Пусть — порядок (конечный) элемента а мультипликативной группы. Равенство где — целое числа, выполняется тогда и только тогда, когда делит .

Доказательство. Предположим, что и докажем, что делит . По теореме о делении с остатком, для чисел пат существуют целые числа q и , удовлетворяющие условиям (1). Надо показать, что По условию, и, по предположению, . В силу (1) отсюда следует, что

Так как , то из следует т. е. делит .

Предположим теперь, что делит , и докажем, что Так как делит , то для некоторого целого k. Следовательно,

ПРЕДПОЛОЖЕНИЕ 3.2. Пусть а — элемент мультипликативной группы, имеющий конечный порядок . Равенство где и s — целые числа, выполняется тогда и только тогда, когда делит

Доказательство. Равенство имеет место тогда и только тогда, когда . По теореме в том и только в том случае, когда делит . Следовательно, тогда и только тогда, когда делит

СЛЕДСТВИЕ 3.3. Пусть а — элемент мультипликативной группы, имеющий конечный порядок . Пусть и s — целые числа; — классы вычетов по модулю . Равенство выполняется тогда и только тогда, когда

СЛЕДСТВИЕ 3.4. Пусть а — элемент мультипликативной группы, имеющий конечный порядок . Тогда элементы различны.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.5. Пусть а — элемент бесконечного порядка мультипликативной группы и , s — целые числа. Равенство имеет место тогда и только тогда, когда

Доказательство. Из равенства очевидно, следует равенство . Предположим, что . Если например , то Это невозможно, так как, по условию, элемент а имеет бесконечный порядок. Следовательно, .