Пустое множество.

Введем новое важное понятие.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством.

Таким образом, множество А называют пустым, если для любого Такое множество единственно. В самом деле, если С и D — пустые множества, то для каждого верна эквивалентность так как оба ее члена ложны. Согласно определению равенства множеств отсюда следует, что

Единственное пустое множество обозначается символом Таким образом, для каждого

ПРЕДЛОЖЕНИЕ. 1.1. Пустое множество является подмножеством любого множества.

Доказательство. В самом деле, пусть А — любое множество. Для каждого верна импликация так как импликация с ложной посылкой истинна. Следовательно, .