Бесконечность множества простых чисел.

Следующая теорема была доказана Евклидом.

ТЕОРЕМА 1.10. Множество положительных простых чисел бесконечно.

Доказательство. Покажем, что для каждого данного конечного множества положительных простых чисел существует положительное простое число, отличное от всех чисел этого множества.

Для этого рассмотрим число

Так как а есть натуральное число, большее единицы, то, по теореме 1.5, оно разложимо в произведение положительных простых чисел и поэтому обладает хотя бы одним положительным простым делителем . Этот делитель отличен от так как в противном случае а и разность делилась бы на , а это невозможно. Следовательно, множество всех простых чисел бесконечно.