Исключение переменных.

Результант можно применить к исключению переменных из системы двух алгебраических уравнений, хотя бы одно из которых нелинейно, с двумя переменными. Пусть дана система уравнений

где f и g — полиномы от и у над полем

Запишем эти полиномы по убывающим степеням

где — полиномы из кольца . Найдем результант полиномов рассматривая их как полиномы от Этот результант есть полином из кольца обозначим его через R (у).

Предположим, что система (1) имеет в поле (или в его расширении) решение . Тогда полиномы

имеют общий корень а. Поэтому они имеют общий множитель положительной степени (над ). Следовательно, в силу теоремы 3.2 их результант, равный должен быть равен нулю. Обратно: если Р — корень результанта то, по следствию 3.3, полиномы либо имеют общий корень, либо их коэффициенты оба равны нулю.

Таким образом, решение системы уравнений (1) с двумя переменными сведено к решению уравнения

с одной переменной у. Говорят, что уравнение (2) представляет собой результант исключения из системы уравнений (1).

Пр и мер. Найдем решения системы уравнений

Исключим из системы (1). Для этого запишем левые части уравнений по убывающим степеням

и составим определитель:

Вычисляя определитель, получаем

Уравнение имеет корни

При система (1) переходит в систему которая несовместна.

При система (1) переходит в систему Таким образом, получается решение системы

При система (1) превращается в систему

которая имеет решение . Следовательно, мы получаем еще два решения системы .

Упражнения

1. Вычислить результант полиномов:

2. При каком значении полиномы имеют общий корень:

3. Исключите из системы уравнений

4. Решите с помощью результанта систему уравнений