Глава вторая. МНОЖЕСТВА И ОТНОШЕНИЯ

§ 1. МНОЖЕСТВА

Понятие множества. Понятие множества — одно основных понятий математики. Под множеством понимают совокупность объектов (предметов или понятий), которая рассматривается как одно целое. Например, можно говорить о множестве всех натуральных чисел, о множестве букв на данной странице, о множестве корней данного уравнения и т. п. Объекты, входящие в состав множества, называются его элементами. Понятие множества принимается как исходное, первичное, т. е. не сводимое к другим понятиям.

Утверждения «Объект а есть элемент множества А», «Объект а принадлежит множеству А», которые имеют один и тот же смысл, сокращенно записывают в виде

Если элемент а не принадлежит множеству А, то пишут

Символ называется знаком принадлежности.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Два множества А и В называют равными и пишут если А и В содержат одни и те же элементы.

Таким образом, множества А и В равны, если для любого тогда и только тогда, когда связи с этим доказательство равенства двух данных множеств А и В обычно состоит из доказательства двух утверждений: 1) для любого если то для любого если то

Часто множество обозначается его элементами, заключенными в фигурные скобки. Так, например, множество, состоящее из элементов а, b, с, обозначается Множество, состоящее из элементов обозначается

Множества равны, так как каждый элемент первого множества принадлежит второму множеству и наоборот.

Они оба состоят из трех элементов. Обычно используют запись

Множество может состоять из одного элемента. Необходимо различать элемент а и множество содержащее только один элемент а, хотя бы потому, что допускаются множества, элементы которых сами суть множества. Например, множество состоит из двух элементов 2 и 1; множество состоит из одного элемента а, который сам является двухэлементным множеством.