Изоморфизм полей частных.

Покажем, что всякая область целостности имеет единственное поле частных с точностью до изоморфизма.

ТЕОРЕМА 2.2. Пусть — область целостности. Пусть — поля частных кольца . Тогда существует изоморфизм поля на поле переводящий каждый элемент кольца в себя.

Доказательство. По условию, — поле частных, значит выполняются условия:

(а) есть подкольцо поля

(Р) для любого из F существуют в К такие элементы а, b, что . Далее, по условию, — другое поле частных кольца значит выполняются условия: есть подкольцо поля

(б) для любого у из Р существуют в К такие элементы что

Определим отношение h следующим образом:

Покажем, что h есть отображение из F в Р. Надо показать, что равенство (1) определяет единственное значение не зависящее от конкретного представления элемента в виде . В самом деле, если есть любое другое такое представление элемента то Следовательно, в силу . В силу отсюда следует, что а Поэтому

Таким образом, установлено, что h является отображением (функцией). В силу (1) и условия . В силу (1) и условия Следовательно, h является отображением множества F на Р.

Непосредственная проверка показывает, что h есть гомоморфизм поля на поле т. е. для любых х, у из F выполняются условия

Отображение h инъективно. В самом деле, если для каких-нибудь элементов из

то согласно (1) в поле выполняется равенство . В силу () отсюда следует равенство

В силу (а) из последнего равенства следует, что

Итак, установлено, что для любых элементов множества F из (2) следует (3). Следовательно, h есть инъективное отображение. Кроме того, h есть гомоморфизм. Следовательно, h является изоморфизмом поля на поле Наконец, в силу для любого а из К, т. е. h переводит каждый элемент кольца в себя.