Упражнения.

1. Пусть А - -матрица с линейно независимыми строками. Докажите, что

2. Докажите, что ранг -матрицы не больше .

3. Докажите, что вычеркивание одной строки (столбца) матрицы тогда и только тогда не изменяет ее ранга, когда вычеркнутая строка (столбец) линейно выражается через остальные строки (столбцы).

4. Докажите, что приписывание к матрице одной строки (или одного столбца) либо не изменяет ранга матрицы, либо увеличивает его на единицу.

5. Докажите, что если ранг матрицы А не изменяется от приписывания к ней любого столбца матрицы В с тем же числом строк, то он не меняется от приписывания к матрице А всех столбцов матрицы В.

6. Пусть матрица В получается из матрицы А в результате цепочки неособенных строчечных линейных преобразований. Докажите, что строки матрицы А линейно независимы тогда и только тогда, когда линейно независимы строки матрицы В.

7. Пусть А и В — матрицы с столбцами. Докажите, что матрицы А и В строчечно эквивалентны, когда линейная оболочка строк матрицы А совпадает с линейной оболочкой строк матрицы В.

8. Пусть А — -матрица и -матрица, получающаяся из матрицы А в результате приписывания k новых столбцов. Докажите, что:

если строки матрицы В линейно зависимы, то строки матрицы А линейно зависимы;

если строки матрицы А линейно независимы, то строки матрицы В линейно независимы;

ранг матрицы А не превосходит ранга матрицы В.

9. Ранг основной матрицы однородной системы линейных уравнений на единицу меньше числа переменных. Докажите, что любые два решения этой системы пропорциональны (т. е. отличаются лишь скалярным множителем).

10. Найдите условия, при которых в любом решении однородной системы линейных уравнений переменное равно нулю.

11. Докажите, что если система линейных уравнений над полем рациональных чисел не имеет решений в то она не имеет решений в любом числовом поле.

12. Пусть дана однородная система линейных уравнений (1) (над полем рациональных чисел), имеющая ненулевые решения. Любая фундаментальная система решений системы (1) над являегся фундаментальной системой над любым числовым полем.

13. Пусть

— однородная система линейных уравнений (над полем Докажите, что уравнение

является следствием системы (1) тогда и только тогда, когда оно является линейной комбинацией уравнений (1).