Подкольца.

Пусть — кольцо.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Подкольцом кольца называется любая подалгебра этого кольца.

Более подробно в соответствии с определением подалгебры определение подкольца можно сформулировать следующим образом.

Алгебра называется подкольцом кольца если и тождественное отображение множества L в К является мономорфизмом алгебры X в , т. е. выполняются условия:

Запись — означает, что алгебра X является подкольцом кольца

Если то из определения подкольца следует, что множество L замкнуто относительно каждой главной операции кольца т. е. применение любой главной операции кольца к элементам из L приводит снова к элементам множества L.

Кроме того, в силу условий (1)-(4) каждая главная операция алгебры X является ограничением соответствующей главной операции кольца Ж множеством

ТЕОРЕМА 4.4. Любое подкольцо кольца является кольцом. Нуль и единица кольца являются нулем и единицей любого его подкольца.

Доказательство. Пусть — подкольцо кольца — нуль кольца . В силу условий (1) и (2) алгебра есть подгруппа аддитивной группы кольца Поэтому алгебра является абелевой группой и 0 — ее нулевой элемент.

Умножение в X ассоциативно. В самом деле, в силу (3) имеем

для любых а, b, с из L. В силу (3) и для любого а из L. Следовательно, алгебра является моноидом.

Умножение в X дистрибутивно относительно сложения. В самом деле, в силу (1) и (3) для любых а, b, с из

и, аналогично, Следовательно, алгебра X является кольцом.

Пусть — кольцо и — произвольное непустое подмножество множества К, замкнутое относительно главных операций кольца . Пусть — ограничение главных операций кольца множеством А, т. е.

Тогда, по теоремам 2.6 и 4.4, алгебра

является подкольцом кольца . Таким образом, подкольцо кольца однозначно определяется непустым подмножеством А множества К, замкнутым в . Поэтому вместо (5) пишут: «подкольцо и говорят: «множество А является подкольцом кольца относительно операций

ТЕОРЕМА 4.5. Бинарное опмошение -3 («быть подкольцом») на множестве подколец данного кольца рефлексивно, транзитивно и антисимметрично, т. е. является отношением нестрогого порядка.

Эта теорема является частным случаем теоремы 2.8.

ТЕОРЕМА 4.6. Пересечение произвольной (непустой) совокупности подколец кольца Ш является подкольцом кольца .

Эта теорема является частным случаем теоремы 2.10.

Из теоремы 4.4 следует, что для любого множества М элементов кольца существует наименьшее подкольцо X, содержащее множество М. Нетрудно видеть, что X является пересечением всех подколец кольца , содержащих множество М. Это наименьшее подкольцо X называется подкольцом, порожденным множеством М, а М — системой образующих для кольца X.

Примеры. 1. Пусть D — множество всех диагональных -матриц вида над кольцом . Множество замкнуто относительно главных операций кольца всех -матриц над кольцом Следовательно, алгебра является подкольцом кольца

2. Матрицы вида называются верхнетреугольными.

Пусть L — множество всех верхнетреугольных матриц над данным кольцом . Множество L замкнуто относительно главных операций кольца -матриц над . Следовательно, алгебра является подкольцом кольца

3. Пусть — произвольное ненулевое кольцо и S — множество всех матриц вида . с элементами а, из К. Непосредственная проверка показывает, что множество S замкнуто относительно главных операций кольца Следовательно, алгебра является подкольцом кольца

4. Пусть — кольцо всех действительных функций, определенных и непрерывных на множестве R действительных чисел. Пусть b — множество всех действительных функций, определенных и дифференцируемых на множестве R. Множество D замкнуто относительно главных операций кольца . Следовательно, алгебра является подкольцом кольца .