§ 5. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ

Понятие алгебраической системы.

Пусть А — любое непустое множество.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Алгебраической системой называется упорядоченная тройка

где А — непустое множество, — множество операции на А и — множество отношений на А.

Таким образом, алгебраическая система определяется тремя множествами;

непустым множеством А, обозначаемым также через это множество называется основным множеством системы а его элементы — элементами системы ;

(b) множеством операций определенных на и называемых главными операциями системы

множеством отношений заданных на и называемых главными отношениями системы

Если — алгебраическая система, то говорят также, что множество есть алгебраическая система относительно операций и отношений

Иногда под алгебраической системой понимают пару где — множество операций на — множество отношений на . Тогда если то система является алгеброй. Таким образом, алгебру можно рассматривать как частный случай алгебраической системы.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Алгебраические системы называются однотипными, если однотипны алгебры и существует инъективное отображение множества на при котором любое отношение R из и соответствующее ему при отображении отношение из имеют один и тот же ранг.

Наиболее частым является случай, когда множества конечны: . В этом случае вместо записи

обычно употребляется запись

При этом последовательность где — ранг операции — ранг отношения называется типом системы . Алгебраические системы ,

являются однотипными, если их типы совпадают, т. е.

При этом операция системы называется соответствующей операции системы а отношение системы — соответствующим отношению системы

Пример. Множество натуральных чисел N с обычными операциями сложения умножения и отношением порядка является алгебраической системой типа (2,2; 2).