ТЕОРЕМА 3.2. Для любой подходящей дроби к цепной дроби (1) имеет место равенство
Доказательство. Формула (4) доказывается индукцией по k. Из формул (3) непосредственно следуют равенства
т. е. утверждение теоремы верно для . Далее,
значит, утверждение теоремы верно для
Предположим, что утверждение теоремы верно для подходящей дроби, где , т. е.
и докажем, что утверждение теоремы верно для подходящей дроби. На основании формул (3) равенство (5) можно записать в виде
В обеих частях равенства (6) заменим элемент на . Эта замена переводит и поэтому из (6) получаем
Отсюда в силу (3)
В силу (8) отсюда следует, что
т. е. выполняется равенство (7).
СЛЕДСТВИЕ 3.4. Числа взаимно простые и, значит, каждая дробь несократима.
Доказательство. Ввиду (7) любой общий множитель есть делитель единицы. Поэтому числа взаимно простые и дробь несократима.
Между двумя последовательными подходящими дробями имеется важное соотношение, которое вытекает из (7).
СЛЕДСТВИЕ 3.5. Для выполняется равенство