Глава пятая. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

§ 1. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

Арифметическое n-мерное векторное пространство.

Пусть — произвольное фиксированное поле, и F — ею основное множество. Элементы множества Р назовем скалярами, F — множеством скаляров, a — полем скаляров. Пусть n — фиксированное натуральное число, отличное от нуля.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ, -мерным вектором над полем называется любой кортеж из элементов поля Множество всех -мерных векторов над полем обозначается символом

Вектор обычно записывается в виде строки или столбца. В этом параграфе -мерный вектор записывается в виде строки

где

множестве -мерных векторов над полем введем отношение равенства, операцию сложения векторов и операцию умножения вектора на скаляр.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Векторы называются равными, если

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Суммой векторов называется вектор т. е.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Произведением скаляра К на вектор называется вектор , т. е.

Операцию умножения на скаляр X обозначим символом т. е.

Для каждого из , есть унарная операция на множестве -мерных векторов.

Вектор называется нулевым вектором и обозначается символом 0. Нулевой вектор является нейтральным элементом относительно сложения.

Вектор называется вектором, противоположным вектору и обозначается символом — а. Очевидно, а

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Арифметическим -мерным векторным пространством над полем называется множество с заданными на нем бинарной операцией сложения и унарными операциями , т. е. алгебра

Арифметическое -мерное векторное пространство над полем обозначается символом

Операция сложения векторов и унарные операции со, являются главными операциями векторного пространства

ТЕОРЕМА 1.1. Главные операции векторного пространства обладают следующими свойствами:

(1) алгебра где для любого а из есть абелева группа,

(2) умножение на скаляры ассоциативно, т. е. для любых из F и любого а из

(3) умножение на скаляр дистрибутивно относительно сложения, т. е. для любого а из F и любых а, b из

(4) умножение на вектор дистрибутивно относительно сложения скаляров, т. е. для любых а, Р из F и любого а из ;

(5) для любого а из

Доказательство. Докажем, что алгебра есть коммутативная группа. Коммутативность сложения векторов непосредственно следует из определения сложения и того, что — поле. Ассоциативность сложения следует из ассоциативности сложения скаляров:

Вектор 0 является нейтральным элементом относительно сложения, т. е. для любого вектора а. Вектор — является противоположным вектору а, т. е. а . Таким образом, есть группа. Ее коммутативность следует из коммутативности сложения скаляров.

Легко проверить также выполнимость свойств