Универсальное множество. Дополнение множества.

Во многих приложениях теории множеств рассматриваются только такие множества, которые содержатся в некотором фиксированном множестве. Например, в геометрии мы имеем дело с множествами точек данного пространства, в элементарной арифметике с подмножествами множества всех целых чисел.

Всюду ниже буквы обозначают множества, содержащиеся в некотором фиксированном множестве, которое назовем универсальным и будем обозначать через U. Таким образом, мы считаем, что для каждого рассматриваемого множества А имеем Следовательно, для каждого множества А

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Множество называется дополнением множества А и обозначается через А (или через А). Дополнение множества А обозначается через (или А).

Нетрудно видеть, что

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.4. Для любого множества А

Доказательство предоставляется провести читателю. ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.5. Если то Доказательство. Пусть Надо доказать, что для всякого из U, если то Действительно, если , то . Учитывая условие , мы заключаем, что

ТЕОРЕМА 1.6. Имеют место следующие тождества:

Доказательство. Покажем, что для всякого

В самом деле, тогда и только тогда, когда Но в том и только в том случае, когда , т. е. когда и, значит, .

Тождество (5) можно доказать следующим образом. Используя тождество (4) и закон инволюции, получим

Следовательно,

т. е. справедливо тождество (5).