§ 3. ЛИНЕЙНЫЕ АЛГЕБРЫ

Линейная алгебра.

Пусть — поле скаляров.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Алгебра называется линейной алгеброй, если бинарные операции и унарные операции удовлетворяют следующим требованиям:

1) алгебра есть векторное пространство над полем

2) выполняются условия билинейности, т. е.

для любых а, b, с и любого

Рангом линейной алгебры называется размерность векторного пространства

Примеры. 1. Пусть С — множество всех комплексных чисел. Алгебра

есть линейная алгебра над полем действительных чисел. Ее ранг равен двум.

2. Пусть — множество всех -матриц над полем. Алгебра

где — унарная операция умножения на скаляр является линейной алгеброй над полем ранга . Она называется полной матричной алгеброй над полем . Ее ранг равен

3. Алгебра кватернионов над полем . Пусть — четырехмерное векторное пространство над полем — его базис. Определим умножение базисных векторов следующими равенствами:

Произведение любых двух кватернионов определяется равенством

Кватернионы называются сопряженными. Действительное число

называется нормой кватерниона.

Непосредственная проверка показывает, что выполняются условия билинейности. Таким образом, алгебра

является линейной. Она называется алгеброй кватернионов над полем действительных чисел.

Легко проверить, что алгебра некоммутативным кольцом, в котором для любых при уравнение разрешимо.